Импульс. Закон сохранения импульса. « Пример 8.1. Лодка со стоящим на ней человеком имеет скорость v0

«Пример 8.1. Лодка со стоящим на ней человеком имеет скорость v₀. Определить, пренебрегая сопротивлением воды, с какой скоростью v будет двигаться лодка, если человек пойдет по ней вперед со скоростью u относительно лодки. Масса человека равна m, а масса лодки – M. На какую величину L переместится покоившаяся лодка при перемещении по ней человека на l?

Решение.

Применим закон изменения импульса в интегральной форме:

₂ – ₁ = Dt. (8.1)

Рассмотрим систему «человек – лодка». Первое состояние – человек стоит на лодке; второе состояние – человек идет по лодке. Соотношение (8.1) справедливо в инерциальной системе отсчета. Таковой можно считать воду, относительно которой задана скорость v₀. Найдем импульсы, входящие в формулу (8.1):

₁ = (m + M) ₀, ₂ = M + m ( + ). (8.2)

Здесь + – скорость человека относительно воды, найденная по закону сложения скоростей.

В правой части (8.1) содержатся лишь силы тяжести и архимедова сила. Проекции этих сил на горизонтальное направление равны нулю, поэтому удобно проецировать уравнение (8.1) на ось x, сонаправленную со скоростью ₀:

M v_X + m (u + v_X) – (m + M) v₀ = 0, Þ

v_X = v₀ – m u / (M + m). (8.3)

Из (8.3) видно, что при достаточно большой скорости u величина v_X окажется отрицательной, то есть лодка станет двигаться в направлении, противоположном первоначальному.

При v₀ = 0 формула (8.3) дает скорость движения покоившейся первоначально лодки, по которой пошел человек. Если он идет со скоростью u в течение времени t = l / u, то лодка переместится в обратном направлении на величину L = | v_X | t, следовательно,

L = m l / (M + m). (8.4)

Получившийся таким образом ответ на второй вопрос задачи основан на предположении о равномерном движении человека. Между тем этот ответ справедлив при произвольном изменении скорости в процессе движения. В этом убеждает решение второй части задачи, основанное на использовании понятия "центра масс".

Центром масс называют такую точку, скорость которой, умноженная на массу всей системы, равна импульсу системы. В рассматриваемой задаче = (m + M) _C, где _C – радиус-вектор центра масс.

Закон изменения импульса в дифференциальной форме, d / dt = , приводит к заключению, что проекция импульса системы "человек – лодка" остается неизменной. В ситуации, о которой говорится во второй части задачи, эта проекция остается равной нулю:

(m + M) _C = 0. (8.5)

Отсюда следует, что центр масс системы остается на месте (x_C = const) при любых движениях ее частей.

Используя известную формулу, определяющую радиус-вектор центра масс,

_С = (S m_{i i}) / (S m_i), (8.6)

получим x_C = (m x_Ч + M x_Л) (M + m) = const, (8.7)

где x_Ч и x_Л – координаты человека и лодки соответственно. Для приращений этих координат соотношение (8.7) дает

m Dx_Ч + M Dx_Л = 0. (8.8)

Приращения координат в данной задаче имеют следующие значения: Dx_Л = – L; Dx_Ч = l – L. Подставляя их в (8.8), приходим к (8.4). Получен прежний ответ, но при этом не накладывалось никаких ограничений на характер движения человека.

«Пример 8.2. В сильный снегопад от железнодорожного состава, идущего со скоростью v₀, оторвалась платформа. Считая, что количество снега, выпавшего на платформу в единицу времени, равно q, определить, через какое время t платформа остановится, если ее начальная масса равна m₀, а коэффициент сопротивления движению в отсутствии снега равна m.

Решение.

Платформу можно считать частицей с переменной массой, и применить к описанию ее движения уравнение Мещерского в проекции на направление начальной скорости:

m dv / dt = F_X + u dm / dt. (8.9)

Здесь v – проекция скорости платформы, m – ее масса, u = – v – проекция скорости налипающих частиц снега относительно платформы, dm / dt = q, F_X = – m m g. Так что (8.9) принимает вид

m dv / dt = – m m g – v q. (8.10)

При неизменной интенсивности снегопада (dv / dt = q = const) масса растет со временем по закону

m = m₀ + q t. (8.11)

Подставляя (8.11) в (8.10), получим дифференциальное уравнение

(m₀ + q t) dv / dt + v q = – m g ((m₀ + q t). (8.12)

Решение такого неоднородного уравнения представляет собой, как известно из математики, сумму двух слагаемых: v = v ₁+ v₂, где v ₁ – общее решение уравнения (8.12) без правой части (однородного), а v₂ – одно из частных решений уравнения (8.12) с правой частью.

Переменные v₁ и t однородного уравнения легко разделяются, и после интегрирования получается

v₁ = m₀ v₁₀ / (m₀ + q t), (8.13)

где v₁₀ – произвольная постоянная.

Поскольку правая часть неоднородного уравнения (8.12) представляет собой линейную относительно t функцию, то частное решение этого уравнения следует искать тоже в виде линейной функции:

v₂ = A + B t. (8.14)

Постоянные A и B должны быть подобраны так, чтобы при подстановке v = v₂ в (8.12) получилось тождество. Сделав такую подстановку и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t в обеих частях равенства, получим

A = – m g m₀ / (2 q) и B = – m g / 2. (8.15)

Подставив (8.13) и (8.14) с постоянными (8.15) в (8.12), найдем общее решение этого уравнения:

v = m₀ v₁₀ / (m₀ + q t) – m g m₀ / (2 q) – m g t / 2. (8.16)

Произвольная постоянная v₁₀ находится из начального условия v|_{t = 0} = v₀:

v₁₀ = v₀ + m g m₀ / (2 q). (8.17)

Осталось лишь подставить в (8.16) выражение (8.17), а также v = 0 и решить получающееся квадратное относительно t уравнение

m g q t² / 2 + m g m₀ t – m₀ v₀ = 0.

Это уравнение имеет два корня:

t = .

Лишь верхний знак должен быть оставлен в ответе, так как иной корень дает t < 0, что не имеет физического смысла.