Энергия. Закон сохранения энергии

l Законы сохранения представляют собой иную по сравнению с динамическими уравнениями форму законов эволюции (рис. 1). Они описывают изменение состояния механической системы менее детально по сравнению, например, с ньютоновскими уравнениями, но зато их область применимости выходит за рамки классической механики.

Законы сохранения оказываются наиболее общими потому, что они тесно связаны со свойством, присущим подавляющему большинству объектов, – симметрией. Связь симметрии физических систем с законами сохранения была установлена в 1918 году Э. Нётер.

Теорема Нётер утверждает, что из инвариантности законов природы (например, уравнений Лагранжа) относительно некоторого преобразования переменных следует существование соответствующей этому преобразованию величины, которая при определенных условиях является интегралом движения, то есть сохраняется.

Докажем, что из инвариантности уравнений Лагранжа относительно сдвига во времени (замены t на t’= t + Dt, где Dt = const) следует существование сохраняющейся величины – механической энергии.

Указанную инвариантность именуют однородностью времени. Она означает, что если система оказывается в одинаковых условиях, начиная с моментов времени, разделенных промежутком Dt, то ее дальнейшие эволюции (изменения во времени) в этих условиях неразличимы. Если бы это было не так, то законы природы, установленные вчера, не выполнялись бы, например, завтра.

Для механической системы, описываемой функцией Лагранжа L, однородность времени будет обеспечена, если = 0.

В самом деле, посмотрим, к каким изменениям уравнений Лагранжа (8.6) может привести преобразование t ® t’= t + Dt (сдвиг во времени). Величины Q_j’ предполагаются неизменными, поскольку система остается в прежних условиях. Входящие в левую часть (8.6) производные по переменной t не отличаются от производных по t’, поскольку Dt = const. Так что если не изменяется вид функции L (иначе, если = 0), то уравнения (8.6) останутся справедливыми и после сдвига во времени, то есть они инвариантны относительно этого преобразования.

Полную производную функции Лагранжа при = 0 можно записать так:

= _j + _j. (10.1)

Сделав преобразование

_j = – _j (10.2)

и воспользовавшись уравнениями Лагранжа (8.6), получим из (10.1):

= Q_j’. (10.3)

Умножим (10.3) на dt и введем обозначения:

_jdt dq_j = d A’, (10.4)

= E. (10.5)

Тогда приходим к соотношению

d E = d A’. (10.6)

Величину E, определяемую формулой (10.5), называют механической энергией, равенство (10.6) выражает закон изменения этой величины, утверждающий, что приращение механической энергии системы равно работе сил, не учтенных функцией Лагранжа.

Механическая энергия сохраняется (E = const), если d A’ = 0. Таким образом, условие = 0, обеспечивающее однородность времени, приводит к существованию величины E, сохраняющейся при равенстве нулю работы сил, не учтенных функцией Лагранжа.

Выражению (10.5) можно придать более знакомый вид в случае голономных стационарных связей, когда _i = _i(q_j).

Для этого выразим вначале кинетическую энергию через обобщенные координаты:

T = = _{l k}.

Суммирование производится по всем дважды повторяющимся индексам.
i = 1, 2,..., N, l = 1, 2,..., s, k = 1, 2,..., s.

Введя обозначение

a_lk = a_kl = , (10.7)

получим

T = _{l k} (10.8)

Кинетическая энергия оказывается квадратичной функцией обобщенных скоростей.

Дифференцированием (10.8) найдем

= = _k + _l.

При вычислении производной, положив j = l, получим первую группу слагаемых, а при j = k – вторую. Теперь сумма в (10.5) упрощается:

= _{k j} + _{j l} = 2 T. (10.9)

Здесь принято во внимание, что значение суммы не зависит от обозначений индексов, по которым производится суммирование.

Благодаря (10.9) величина (10.5) оказывается равной

E = 2 T – L = T + U. (10.10)

Таким образом, для голономной системы со стационарными связями механическая энергия равна сумме ее кинетической и потенциальной энергий.

C Некоторые важные положения