Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Задача двух тел
|
|
& Литература: [8] (§ 13).
F Разъяснения и дополнения
 |
l Рассматривается система двух частиц, изображенная на рис. 12. Массы частиц – m1 и m2; потенциальная энергия U зависит от расстояния
r = ê
12 ê между ними: U = U(r).
Система двух частиц замкнута. Поэтому ее импульс сохраняется: 
= const. Задача упрощается, если положить = (m1 + m2) 
C = 0, иначе говоря, если перейти в систему центра масс. В новой системе отсчета положение центра масс С остается неизменным ( C = 0 ® C = const). Потребуем далее, чтобы C = 0, то есть совместим начало отсчета с центром масс. Придем к более простой ситуации, изображенной на рис. 13. Для нее имеют место следующие равенства:
= 2 – 1, (14.1)
1 = – 
, (14.2)
2 = 
. (14.3)
l Функцию Лагранжа рассматриваемой системы, благодаря соотношениям (14.1) – (14.3), можно привести к виду
L = 
m 2 – U(r), (14.4)
где m = 
, или 
= 
+ 
. (14.5)
Величину m называют приведенной массой.
Выражение (14.4) означает, что задача двух тел сводится к задаче о движении одной частицы (m -точки). Масса m-точки равна приведенной массе частиц (14.5). Радиус-вектор характеризует положение второй частицы относительно первой (см. (14.1) и рис. 13). Начало отсчета – центр масс. Потенциальная функция U зависит только от расстояния r до этого центра. Поле, описываемое такой потенциальной функцией, называют центральным.
l Если задача о движении m-точки в центральном поле решена (найдено уравнение = (t)), то формулы (14.2) и (14.3) позволяют описать движение каждой частицы.
На рисунке 14 показаны траектории и направления движения m-точки и частиц m1 и m2. Траектории движения этих частиц и m-точки подобны.
? Задания и контрольные вопросы
1*. Приведите примеры конкретных систем, которые описывает задача двух тел.
2. Почему задачу двух тел целесообразно решать в системе центра масс?
3*. Выведите формулы (14.2) и (14.3).
4*. Получите соотношение(14.4).
5. Что такое m-точка?
6. Какое поле называют центральным? Приведите примеры центральных полей.
7*. Расскажите, как определяется движение каждой частицы, если известно движение m-точки.
§15. Общие закономерности движения частицы
в центральном поле
& Литература: [8] (§ 14).
C Некоторые важные положения
« При решении задачи о движении частицы в центральном поле используются полярные координаты r и j. Функция Лагранжа в этих координатах имеет вид:
L = m (
2 + r2 
2) – U(r). (15.1)
« Момент импульса LZ относительно оси Z, проходящей через центр и коллинеарной вектору 
, остается постоянным. Он выражается равенством:
LZ = 
= m r2 = const, (15.2)
в котором L – функция Лагранжа (не путайте с модулем момента импульса ç ç).
Из-за равенства LZ = const неизменной оказывается и секторная скорость:
= 
= const, (15.3)
где ds = r2 dj / 2.
Утверждение о постоянстве секторной скорости планеты при ее движении вокруг Солнца получило название второго закона Кеплера.
« Сохранение энергии E частицы приводит к уравнению:
= ± 
, (15.4)
где UЭФ = U(r) + UЦБ, (15.5)
UЦБ = 
. (15.6)
Величина E включает в себя, помимо кинетической энергии, еще и потенциальную энергию частицы в центральном поле.
« Равенства (15.2) и (15.4) в неявном виде содержат кинематические уравнения движения. Исключая время из этих равенств, получим дифференциальное уравнение траектории:
= ± 
. (15.7)
F Разъяснения и дополнения
l Речь идет, вообще говоря, о движении m-точки. Однако если массы двух тел сильно различаются (m1 >> m2), то из (14.5) и (14.3) следует, что движение m-точки мало отличается от движения частицы меньшей массы относительно другого тела. Поэтому, говоря о движении частицы в центральном поле, можно иметь в виду, например, движение космического корабля с выключенным двигателем относительно Земли или движение
a-частицы относительно тяжелого атомного ядра.
l Сила, действующая на частицу в центральном поле, коллинеарна радиус-вектору частицы (
↑↨ ).
Это становится понятным, если вспомнить, что = – 
U. Перпендикулярные к вектору составляющие градиента в сферической системе координат пропорциональны величинам 
и 
. Обе эти производные в центральном поле равны нулю.
Вследствие соотношения ↑↨ в центральном поле сохраняется момент импульса :
= 
= [ ] = 0 ® = const. (15.8)
l Сохранение момента импульса означает, что частица в центральном поле движется по траектории, которая лежит в плоскости, перпендикулярной и проходящей через центр поля.
Действительно, = [ ] =
m [ ]. Отсюда следует, что в любой момент времени ^ и ^ , то есть плоскость, образованная вектором и бесконечно малым отрезком dt траектории, остается перпендикулярной неизменному вектору .
l Формула (15.4) аналогична (13.1). Это позволяет проводить анализ движения подобно тому, как это делалось в § 13.
На рисунке 15 изображен график эффективной потенциальной энергии (15.5) при некоторых ограничениях на функцию U(r). Предполагается, что, во-первых, U(r) < 0 (притягивающий центр), во-вторых, при r
® ¥ величина U(r) ® 0, а при r ® 0 ½U(r)½ << UЦБ (15.6).
Энергия E рассматриваемой системы сохраняется, поскольку исходная система двух частиц замкнута и консервативна.
Можно отнести величину E и непосредственно к m-точке. Тогда энергия m-точки представляет собой сумму ее кинетической энергии и «потенциальной энергии в поле». Придерживаясь школьной терминологии, следовало бы говорить об энергии системы «m-точка – поле».
Прямая E = const на рисунке 15 пересекает график в точках П и А, определяющих минимальное (rП) и максимальное (rА) расстояния частицы от центра.
В области пространства rП £ r £ rА происходит финитное движение. Эта область на плоскости движения ограничена окружностями с радиусами rП и rА соответственно (рис.16). Траектория движения представляет собой, вообще говоря, незамкнутую розетку, часть которой изображена на рисунке 16.
Точки А, наиболее удаленные от центра О, называют апоцентрами, а точки П, наименее удаленные от центра, перицентрами. Про эти точки траектории, а также соответствующие им точки А и П на рисунке 15 говорят, что они являются точками поворота. В них, в соответствии с формулами (15.7) и (15.2), = 0, но 
¹ 0, то есть происходит поворот радиус-вектора при неизменном его модуле.
Из-за двух знаков перед корнем в формуле (15.7) траектория симметрична относительно линий ОА и ОП – линий абсид.
? Задания и контрольные вопросы
1. Приведите примеры систем, описываемых задачей о движении частицы в центральном поле.
2. К существованию какого интеграла движения приводит центральная симметрия поля и почему?
3*. Объясните, как получаются формулы (15.1) и (15.2).
4. Какие следствия для частицы в центральном поле имеют место в силу того обстоятельства, что сохраняется момент импульса?
5. Расскажите о втором законе Кеплера.
6*. Выведите уравнения, определяющие функции j = j (t) и r = r(t) для частицы в центральном поле.
7. При каких условиях возможны финитные движения частицы в центральном поле?
8. Расскажите о траекториях финитного движения частицы в центральном поле.
9. Расскажите о перицентрах и апоцентрах.
10*. Расскажите о проблеме падения частицы на притягивающий центр.
Date: 2015-12-13; view: 505; Нарушение авторских прав