Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Равновесие потенциальной механической системы
|
|
& Литература: [1] (§§ 13.6, 18.1, 19.5, пример 20.8), [3] (§ 50).
F Разъяснения и дополнения
l Чтобы решить конкретную задачу с помощью уравнений Лагранжа, прежде всего нужно составить лагранжиан, который включает в себя кинетическую энергию системы. Нахождение последней облегчает теорема Кёнига.
l Теорема Кёнига утверждает, что кинетическая энергия системы частиц складывается из кинетических энергий поступательного движения со скоростью центра масс и движения в системе центра инерции, то есть в поступательно движущейся системе отсчета, связанной с центром масс:
T = M 
С2 / 2 + Tотн. (9.1)
Tотн = 
, i = 1, 2,..., N. (9.2)
M = 
– масса всей системы, iC – скорость i-й частицы в системе центра масс (центра инерции).
l Центром масс называют точку, радиус-вектор которой, отсчитанный от начала О, определяется соотношением:
С = СO = 
/ M. (9.3)
l Для доказательства теоремы Кёнига перейдем от системы отсчета с началом в точке О к системе отсчета с началом в другой точке –
А (рис. 10).
iO = iА + АO. (9.4)
Подставив это выражение в соотношение T = 
, получим:
T = 
+ 
+ АO(
). (9.5)
На основании формулы (9.3) скобка в (9.5) равна M CА. Если точку А совместить с центром масс С, то СA = СC = 0 и соотношение (9.5) совпадет с (9.1).
l Теорема Кёнига вскрывает важное физическое свойство центра масс, то есть точки, формально определяемой выражением (9.3). Именно эта точка фигурирует в выражении (9.1), определяющем кинетическую энергию системы.
l Условия равновесия консервативной системы можно получить из принципа виртуальных перемещений Бернулли: dA = 
= 
= 0, следовательно,
Qj = – 
= 0. (9.6)
Это условие означает, что в состоянии равновесия потенциальная энергия U(qj) имеет стационарное значение.
l Применяя уравнения Лагранжа к свободной от внешних воздействий консервативной системе (Qj’= 0), получим при 
= 0 следующее соотношение для обобщенного импульса:
pj = 
= const. (9.7)
Обобщенные координаты, от которых не зависит функция Лагранжа, называют циклическими координатами. Так что обобщенный импульс, соответствующий циклической координате, сохраняется в консервативной системе, свободной от внешних воздействий. В положении равновесия все величины = 
– = 0, если, как это часто бывает, = 0. Поэтому при равновесии замкнутой консервативной системы все обобщенные импульсы не меняются с течением времени, если = 0.
C Некоторые важные положения
« Кинетическая энергия абсолютно твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси, может быть вычислена по формуле:
Tвр = I w2 / 2, (9.8)
где w – угловая скорость вращения, а I = 
– момент инерции относительно этой оси. Величина ri – расстояние от частицы массой mi до оси вращения.
Для сплошного цилиндра относительно его геометрической оси
I = m R2 / 2, (9.9)
где m – масса, а R – радиус цилиндра.
Для тонкостенной трубы радиуса R относительно оси трубы
I = m R2. (9.10)
Для стержня, вращающегося около центра масс,
IC = m l 2 / 12. (9.11)
Для стержня, вращающегося около его конца,
I = m l 2 / 3. (9.12)
В двух последних формулах m – масса стержня, l – его длина.
« Кинетическая энергия абсолютно твердого тела, движущегося относительно системы центра масс, может быть найдена так:
T = 
/ 2. (9.13)
Входящую в выражение (9.13) совокупность чисел Iab называют тензором инерции, wa – проекция угловой скорости на ось a (a, b:= x, y, z). Суммирование предполагается по обоим дважды повторяющимся индексам.
Для главных осей инерции
T = 
/ 2. (9.14)
Величины Ia называют главными моментами инерции.
« Момент инерции I тела массой m относительно произвольной оси можно выразить через момент инерции I0 относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс и расположенной на расстоянии d от
первой, по теореме Гюйгенса – Штейнера:
I = I0 + m d2. (9.15)
? Задания и контрольные вопросы
1. В каких случаях целесообразнее пользоваться уравнениями Лагранжа, а не ньютоновскими уравнениями или уравнениями Даламбера – Лагранжа?
2. Составьте уравнения Лагранжа для материальной точки, движущейся в поле с потенциальной функцией U(, t).
3*. Составьте уравнение Лагранжа для твердого тела, вращающегося под действием углового момента Mz.
4*. Докажите теорему Кёнига.
5. Расскажите о нахождении равновесного положения консервативной системы.
6. Что такое обобщенный импульс, и какое отношение он имеет к равновесию?
7. Расскажите о видах равновесия консервативной системы.
Date: 2015-12-13; view: 336; Нарушение авторских прав