Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Уравнения Лагранжа
|
|
& Литература: [1] (§ 21.1), [3] (§§ 6.1, 6.2).
F Разъяснения и дополнения
l Уравнения движения в обобщенных координатах (7.4) еще более упрощаются, если в системе есть так называемые потенциальные силы.
l Потенциальные силы 
i можно выразить через функцию координат и времени (потенциальную функцию) U = U(
1, 2,..., N, t):
i = – 
iU = – 
. (8.1)
l Если 
= 0, то потенциальные силы называют стационарными. Стационарные потенциальные силы именуют также консервативными, а потенциальную функцию U для них – полной потенциальной энергией.
l Иногда различают силы внешние и внутренние. Соответственно и полную потенциальную энергию представляют в виде суммы:
U = U(е) + U(у). (8.2)
Здесь U(е) и U(у) – вн е шняя и вн у тренняя потенциальные энергии.
Выбором достаточно широкой системы рассматриваемых тел всегда
можно обеспечить равенство U = U(у). По этой причине в школьной физике под потенциальной энергией чаще всего подразумевается только внутренняя потенциальная энергия. При таком определении бессмысленно говорить о потенциальной энергии частицы или абсолютно твердого тела. Потенциальная энергия частицы в поле тяжести или в электрическом поле – иное понятие, тождественное внешней потенциальной энергии.
l Для вывода уравнений Лагранжа правую часть уравнений (7.4) целесообразно представить в виде:
Qj = 
+ Qj’= – 
+ Qj’, (8.3)
где i – потенциальные силы, а Qj’ – обобщенные силы, не учтенные потенциальной функцией U.
C Некоторые важные положения
« Работа А консервативных сил при переходе системы из состояния 1 в состояние 2 равна разности потенциальных энергий в этих состояниях:
A = U1 – U2. (8.4)
Из (8.4) следует, что потенциальная энергия (внутренняя) равна работе консервативных внутренних сил при переходе системы из данного состояния в нулевое.
Нулевое состояние выбирается произвольно.
« Функция Лагранжа (лагранжиан) равна разности кинетической энергии и потенциальной функции, причем эта разность должна быть выражена через обобщенные координаты и обобщенные скорости:
L = T – U = L(q j, 
j, t). (8.5)
« Уравнения Лагранжа (уравнения Лагранжа второго рода) в общем случае, то есть когда в системе могут быть и непотенциальные силы, записываются так:
– 
= Qj’, j = 1, 2, …, s. (8.6)
Qj’ – обобщенные силы, не учтенные функцией Лагранжа.
? Задания и контрольные вопросы
1. Расскажите о потенциальных силах и потенциальной функции.
2. Какими свойствами обладают консервативные силы?
3*. Почему поле консервативных сил называют безвихревым?
4. Что такое потенциальная энергия системы? Какими свойствами она обладает?
5*. Дайте обоснование равенствам (8.3).
7. Чем отличаются уравнения Лагранжа от ньютоновских уравнений (4.2) и что у них общего?
8. Что такое функция Лагранжа?
§9. Теорема Кёнига. Применение уравнений Лагранжа.
Date: 2015-12-13; view: 376; Нарушение авторских прав