Прямая на плоскости

M₀(x₀,y₀), U(m,n) M(x,y)-произвольная

MÎs<=>M₀M^--||u^--<=> M₀M^--=t*u^--, t-число

Параметрическое уравнение прямой: {x-x₀=tm, y-y₀=tn

Каноническое уравнение: (x-x₀)/m=(y-y₀)/n

A(x-x₀)+B(y-y₀)=(Am+Bn)t

A(x-x₀)+B(y-y₀)=0;

Ax+By-(Ax₀+By₀)=0; (Ax₀+By₀₎=C;

Ax+By+C=0-общее ур-е (алг-ая линия 1 порядка)

x/a+y/b=1-ур-е в отрезках:

y=-Ax/B-C/B,B¹0;=>y=kx+b

-A/B=k-угловой коэф-т=tga

OP=p; g=(x^Ùn);

xcosg+ysing-p=0-норм. ур-е.

Ax+By+C=0-явл. норм-ым, если A²+B²=1;

RAx+Rby+RC=0;

(AR)²+(BR)²=1; ;

(приводим к нормальному виду)

Афин. задачи:

·Прямая проходящая через две точки. Дано: M₀(x₀y₀) M₁(x₁y₁)

Уравнение прямой через одну точку: A(x-x₀)+B(y-y₀)=0(s)

sÎM₁ A(x₁-x₀)+B(y₁-y₀)=0; Получили ур-е с неизв. A и B=>A=y₁-y₀, B=x₁-x₀;

найденные A и B подставим (x-x₀)(y₁-y₀)-(y-y₀) (x₁-x₀)=0;

(x-x₀)/(x₁-x₀)=(y-y₀)/(y₁-y₀)-искомое ур-е.

·Общая точка двух прямых. Дано: A₁x+B₁y+C₁=0 (s1), A₂x+B₂y+C₂=0 (s2);

Реш. {A₁x+B₁y+C₁=0 A₂x+B₂y+C₂=0;

D= =A1B2-A2B1; Dx= =B1C2-B2C1; Dy= =A2C1-A1C2;

; ;

1°D¹0=>s1Çs2=>k(x;y) ; ;

2°D=0,Dx¹0,Dy¹0 ó реш. нет ó s1||s2

3°D=Dx=Dy=0ó¥ реш.Ûs1=s2;

Метрические задачи:

·Угол между двумя прямыми:

Дано: y=k₁x+b₁(s₁), y=k₂x+b₂(s₂)

Найти: tgj, j(s1^Ùs2);

По т. Шаля: (x^Ùs2)+ (s1^Ùs2)= (x^Ùs2)+360°n

a₁+j=a₂+360°nÞj=(a₂-a₁)+360°n

k₁=tga₁; k₂=tga₂=> => =>(1)уcловие параллельности двух прямых s1||s2ók1=k2 или A1B2-A2B1=0óA1/A2=B1/B2. (2)s1^s2ój=90°=>1+k1k2=0; k1=-1/k2 или A1A2+B1B2=0;

·Расстояние от точки до прямой:

При s: xcosg+ysing-p; M1(x1,y1);

|d|= |xcosg+ysing-p|

при s:Ax+By+C=0;