Свойства операции умножения

1⁰ Выполнимость. Следует из определения т.к. ac-bd, ad-bc R

2⁰ Ассоциативный закон: (Z₁Z₂)Z3=Z1(Z₂Z₃). Z₁=a+bi, Z₂=c+di, Z₃=k+ti

(Z₁Z₂)Z3=…, (a)

Z1(Z₂Z₃)=… (b)

Правые части (a) и (b) равны => ассоц-ть доказана.

3⁰ Нейтральный элемент

Zℓ=ℓZ=Z ℓ-?

Z=a+bi, ℓ=x+yi, x,y-?

(a+bi)(x+yi)=(a+bi)

(ax-by)+(ay+bx)i=(a+bi)

4⁰ Нейтрализующий (обратный) элемент

ZZ’=Z’Z=ℓ

(a+bi)(x+yi)=1+0i

(ax-by)+(ay+bx)I=1+0i

Если а²+b²=0 => a=b=0. В этом случае обратного эл-та не . Т.о. все компл числа, кроме нулевого имеют обратные.

5⁰ Коммутативный закон

Z₁-Z₂=Z₂-Z₁. Проверяется непосредственно. Т.к. умнож компл чисел комутативно при нахождении нейтрального и нейтрализующего эл-та нет необх-ти рассматривать оба произведения. <C^-0,*> - абелева группа.

3) Деление

на практике деление осущ след образом. Обе части дроби умножают на число (c-di) – сопряженное числу (c+di). Если Z=c+di, то =c-di.

Геометрическое представление комплексного числа

Каждому компл числу a+bi м. однозн поставить в соотв упорядоч пару действит чисел. Т.о. мн-во компл чисел м. однозн сопоставить с мн-вом точек координ пл-ти. Комплексное число м. также задавать с помощью вектора . Положение вектора м. быть задано как в декартовых так и в полярных коорд-х. r=|Z| - модуль компл числа, j =argZ – аргумент, a=r*cosj, b=r*sinj, r= , , Z=r(cosj+i sinj) – тригонометрич форма компл числа, Z=a+bi – алгебраич форма компл числа