Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Тригонометрич. ряд Фурье





Пусть ф. f(x) непрер. и периодич. с периодом 2p и разлагается в равномерно сходящийся на всей оси числ. прямой ряд, вида .Первый член ряда записан в такой форме для техн удобства. Поскольку данный ряд составлениз непрер. ф-й и равном-но сход-я, то его можем почленно интегрировать. Возьмём интегралы от обеих частей в указанном равенстве на отрезке [-p,p]. В силу ортогональности тригон-х ф-й все интегралы, кроме первого при коэф-е а0/2 будут равны нулю. Т.е. (*). Домножим обе части (*) на cos(nx) и почленно проинтегрируем. В силу ортогональности тригоном. ф-й все интегралы, кр. интеграла вида an . Аналогично, домножим обе части (*) на sin(nx) и проинтегрировав с учётом ортогон-ти тригон. ф-й найдём: . Мы получили ф-лы по кот-м опред-ся коэф-ты указ. тригоном. ряда, причём они опред-ся однозначно. Эти коэф-ты: a0,an,b­n наз. коэф-ми Фурье. Ф-лы по которым они вычисл. наз. формулами Ейлера-Фурье, а сам ряд, в который разлагается данная ф-я f(x) и коэф-ты которые опр-ся по этим формулам наз-т тригонометрическим рядом Фурье. Нами доказана следующая теорема: если f(x) непрер. и периодич. с периодом T=2p, разлагается в равномерно сходящ-ся тригоном. ряд, то этот ряд будет рядом Фурье (т.е. коэф-ты опр-ся указ-ми фор-ми). Если указ. формулы инт. Для f(x), то её ряд Фурье м.б. построен формально. Будет ли он сходится? и именно в данной ф-и? Для ответа нужны достат признаки. Среди множества достат признаков мы укажем 1, который имеет место для кусочно-диф-мой ф-и: Опр: ф-я f(x) наз. косочно-диф-ой на [a,b], если этот отрезок м-о разбить на конеч. число частей: a=a0<a1<…<ai<…<an=b. На каждом из к-х ф-я явл. кусочно-диф-ой, и на концах [a,b] f(x) имеет конечные одностор. пределы-f(ai,+0), f”(ai,+0); f(ai+1,-0), f’(ai+1,-0)

Признак (Дирихле).

Для кусочно-диф-ой ф-и f(x) с T=2p, её тригоном. ряд Фурье в кажд. т. x=x0 сх-ся и имеет сумму . Очевидно, что если f(x) в т. x=x0 непрерывна, то S0=f(x0)

Ряды Фурье для чётных и нечёт. ф-й с периодом T=2p.

Пусть ф-я y=f(x)-чётн. т.е. f(-x)=f(x)



 

; ; ;

Если f(x) чётная, то в её разложении в ряд Фурье все компоненты bn=0 и говорят, что разложение проводят по косинусам. Получаем: если f(x)-четн., то . Аналогично расужд, если f(x)-нечёт.,

 

то: ; ; , где ; Пр: разложить ф-ю f(x)=x, xÎ[0,p] в ряд Фурье по cos.

1.

, = . 2.разложить по sin.

a0=0;an=0;(рис) . . Замечание: 1. чёт. ф-и разлож. в ряд Фурье т-о по cos т.е. (bn=0), а нечёт. ф-и т-о по sin (a0,an)=0. 2.если ф-я f(x) задана только на половине промежутка от [0,p] или [-p,0], то можем строить её разложение в ряд Фурье: а) по cos, если периодич. продолжить её четн. образом b) по sin, если периодич. продолжить её нечётн. образом. 3.разложение ф-и на любом отр. T=2l ; ; ; . Пусть задана ф-я y=x построим разложение y=x в ряд Фурье на [-p,p]

 

Очевидно, что a0=0, т.е. y=x-нечёт. на [-p,p]. По этой же причине все an=0. Вычислим bn. В итоге получаем следующее разложение . На (-p,p) ф-я f(x) совпадает с x. . Покажем на графике чему будет равна S0 в точках разрыва, для этого в этих точках отметим значения S0=0.






Date: 2016-02-19; view: 108; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2019 year. (0.005 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию