Кратные интегралы

Заметим, что будем иметь аналогию с обыкнов кратным интегралом. Пусть в обл. D задана непрер ф-ция Z=f(x,y)=f(M). Пусть обл D квадрируема, и диаметр обл-ти λ-наибльщая хорда нашей обл, т. е. D ограничена. Определим объем цилиндрич. бруса, стоящего на D, сверху покрыт пов-тью Z=f(x,y). Найти V цилиндрич. бруса. Приходится интегрировать: 1. Сост интегр. Сумму. Разобьем D на эл-ты ΔDi, с площадями Δdi. Разобьем прямыми || корд-ным осям. На кажд разбиении постр. цилиндр до пересечен. с пов-тью. Возьмем т на этом разбиении и приблизительно объем будет равен . ΔDi-имеет площадь Si.

.

Суммируем его по всем разбиениям

.

Эта сумма приближ. выражает объем цилиндр бруса. Ошибка б. Меньшей если n→∞, т. е. λ→0, т. е. нужно найти предел этой интегр-й суммы.

.

О: если сущ конечный предел интегр суммы, независящ ни от спос разб-я обл-ти D на части, ни от выбора точки Mi(xi^*,yi^*), при λ→0, то этот предел наз-ся двойным инт-м от ф-ции f(x,y) по обл-ти D. Св-ва двойн инт-а: 1.если обл-ть D разделить на две квадрируемые части D1 и D2, то

.

2. .

3. Двойн инт-л от суммы двух ф-ций, равен сумме двойных инт-в от каждой из них. 4.если в обл D заданы две ф-ции, причем f(x,y)≤g(x,y), то

.

5. Если в обл-ти D m и M- наибол и наим значение ф-ции,т. е. m≤f(x,y)≤M, то это нер-во м. интег-ть почленно:

.

Это оценка двойного интеграла. 6.Теорема о среднем значении: Если Z=f(x,y) в обл D непрерывная, то внутри обл-ти D найдется т. М(), такая что

Вычис-е двойного интеграла м. вычислить точно, сводя его к повторному или кратному интегр-ю, т. е. вычислению двух обыкнов-х инт-в. Пусть обл-ть D прав-я в направлении оси У, т. е. любая прямая || ОУ пересекает обл. D в двух точках. Пусть крайние из этих лучей имеют ур-я х=а, х=b. Пусть ур-е границ обл-ти будет у=у1(х), у=у2(х). Объем цилиндр бруса найдем по площадям ||-ых сегментов. Возьмем т. х₀ на сегменте АВ, проведем пл-ть, ||-ую пл-ти YOZ.

Сечение б. Представлять из себя трапецию, кот стоит на сегменте kz, т. е. k=у1(х₀), z=у2(х₀). Сверху ограничена кривой на пов-ти Z=f(x₀, y). Найдем S этого сеч-я:

.

Тогда по нашей ф-ле объем тела:

.

Но этот объем выражает дв интеграл, поэтому

.

Анал-но дается опред-е тройного инт-ла: если сущ-т интегр-я сумма

,

при λ→0 (λ- диаметр нашего разбиения (диагональ)), независ-й ни от способа разбиения обл-ти V на части, ни от выбора точки Мi^* на кажд разбиении, то этот предел наз-ся тройным инт-м от ф-ции f(x,y,z) по обл-ти V, и пишется

: .

Заметим, что если ф-ция f(x,y,z) есть ф-ция плотности вещ-ва, то тройной инт-л выражает массу вещ-ва в данном объеме. Св-ва те же, только добав-ся коор z, и инт-ся по V. Вычис-ся так же как дв-й: пусть тело (V) правильное в направлении оси Ох, т. е. любая прямая ||-я z, пересекает границы тела не более чем в двух точках. Пусть это тело проект-ся на пл-ть ху в обл-ть D, кот явл-ся правильной в направ-и оси оу. Тогда:

или

Пример: вычисл тройн интеграл от ф-ции f(x,y,z)=xyz по обл-ти V огран-ой пл-тями: х=0, у=0, z=0, x+y+z=1.