Функции нескольких переменных

Определение f нескольких переменных дается как отображение множества точек n-мерного Евклидова пространства во множество R).

2. Примеры:

3. Понятие графика f 2-х переменных, примеры.

Пусть задана ф. z=f(x,y) в D. Взяв " т. M₀(x₀,y₀)ÎD, можно найти z₀=f(x₀,y₀) и в 3-х мерном пространстве построить точку k(x₀,y₀,z₀). Множество всех этих точек – график функции z=f(x,y).

На практике графики строят методом сечения. Для этого фиксируется какое-то значение одной переменной (т.е. фиксируется плоскость || одной из коорд. плоскостей) и рассматривается уравнение z=f(x,y) при этом фиксированном значении. Это уравнения одной переменной, график – обычная линия. Исследуя эти линии выдел общий вид графика ф. z=f(x,y).

Пример:

z=x²+y², x=0®z=y² – парабола, y=0®z=x² – парабола, z=0® x²+y²=0 - окружность, z<0 – нет, z=r²® x²+y²=z². (параболоид вращения) (рисунок)

Графиком f 2-х перем. обычно является поверхность.

def: Графиком f n-перем. u=f(x₁…x_n) наз. мн-во точек k(x₁…x_n)ÎRⁿ⁺¹.

4. Непрерывность и предел функции нескольких переменных.

5. Дифференцируемость функции нескольких переменных.

Пусть задана ф. z=f(x,y) в D и М – внутр. точка D.

Придадим величинам x и y приращения Dx и Dy, так чтобы P(x+Dx,y+Dy)ÎD, тогда ф. получит прир. которое называется полным приращением. Df(x,y)= f(x+Dx,y+Dy)-f(x, y). Если одно из значений аргумента осталось неизменным (Dx=0 или Dy=0), то получим частные приращения ф. D_xf(x,y)= f(x+Dx,y)-f(x, y), D_yf(x,y)= f(x,y+Dy)-f(x, y).

def: Частной производной – ф. z=f(x,y) по переменной x наз. lim_(Dx®0)D_xZ/Dx. Обозн: Z_x^’, f_x^’(x,y), ¶Z/¶x, ¶f/¶x. Аналогично для y. Символ ¶Z/¶x нельзя рассм. как дробь, в отличие от dy/dx, который рассм. как отношение 2-х дифференциалов. Все правила дифференцирования ф1п. остаются справедливы. Примеры.

Геом. смысл частных производных.

Пусть задана ф. z=f(x,y) в D. Зафиксируем x=x₀.

Пусть т. M₀(x₀,y₀)ÎD на графике соотв. т. k(x₀,y₀,z₀), z₀=f(x₀,y₀). Проведем плоскость x=x₀ || yoz. Она перес. Поверхность по некоторой прямой прох. ч/з т. k. Уравнения этой кривой { z=f(x₀,y), x=x₀ }. Это ф1п. Ее производная z_y^’(x₀,y₀) равна угловому коэф. касат. в т. k т.е = tga. А это и есть частная производная ф.

def: Ф. z=f(x,y) наз. дифференцируемой в т.. M(x,y)ÎD, если ее полное приращение в этой точке представимо в виде: DZ=ADx+BDy+a(Dx, Dy)Dx+b(Dx,Dy) Dy (1) - где A и B – постоянные, a и b - б/м при Dx®0, Dy®0.

def: Дифференциалом (полным) дифференцируемой в т.. M(x,y) ф. z=f(x,y) наз. главная линейная относительно приращений аргументов часть приращения функции. Обозн: dZ= ADx+BDy.

6. Связь дифференцируемости с непрерывностью.

Т1 (необх. условие диф-ти): Если ф. z=f(x,y) диф-ма в т. М(x,y), то она непрерывна в этой точке.

Д-во: т.к. z=f(x,y) диф-ма в точке М, то ее приращение представимо в виде (1). Найдем в этом равенстве предел. , что и означает непрерывность этой ф. в точке М. Теорема необратима.

Т2: Если ф. z=f(x,y) диф-ма в т. М(x,y), то в этой точке она имеет частные производные.

Д-во: Т.к. ф. диф-ма, то ее приращение имеет вид (1). Dy=0ÞD_xZ=ADx+a(Dx,0) Dx, где a(Dx,0)®0 при Dx®0. Поделим на Dx: (D_xZ/Dx)=A+a(Dx,0). Найдем: , т.е. $ Z_x^’=A.

Аналогично, Z_y^’=B.

Зам. 1. Полное приращение м/о записать:

Зам. 2. Дифференциал м/о записать:

Теорема необратима.

Т3 (достаточное условие дифференцируемости): Если ф. z=f(x,y) имеет частные производные в некоторой окрестности т. М(x,y), непрерывные в т. М, то ф. диф-ма в этой точке.