Формула Тейлора

Пусть ф. f(x) имеет в окр-ти т. х₀ производные до (n+1) порядка включительно. Отсюда следует что сама ф и её производные до n-го порядка включительно непрерывны. Обозначим - это многочлен n-й степени. Ещё обозначим R_n(x)=f(x)-P_n(x). Отсюда f(x)=P_n(x)+R_n(x) или - это ф. Тейлора, R_n(x) – остат или дополнит член ф. Тейлора. Для его оценки запишем его в виде: , где p>0 - число, Q(x) – нек-я ф. подлежащая определению. Для её нахожд составим вспомогат ф. при фиксир-м x>x₀ (x<x₀): . Данная ф. на отрезке [х₀, х] (или [х, х₀]), удовл всем усл-м т. Ролля. Она непрер на отрезке и диффер-ма на интервале, т.к. состоит из непр-х и диффер-х ф-ций и на концах промежутка (следует из ф. Тейлора) , т.е. . Тогда по т. Ролля по кр. мере одна т. С на данном интервале, в к-й . Найдём

это общая ф-ла остат члена, т.к. здесь р-произв. положит. число. Придавая р различ знач мы получаем частные случаи. Отметим 2 из них: – p=n+1 это остат. чл. в ф. Лагранжа. Он напоминает ф-лу след члена ряда Тейлора, только знач. (n+1)‑й произв-й берется не в т. х₀, а в т. . Наиболее часто эта форма исп-ся в приложениях; – p=1 это ост. член в форме Коши. В частном случае при х₀=0 из ф. Тейлора è ф-ла Маклорена.

18.2 Поле комплексных чисел.

С- мн-во компл чисел. Компл. числом назыв. выраж. вида a+bi, где a,b R, i – мнимая 1, к‑я обзн. корень ур-я х²+1=0, т.е. соотв. знач. , Z=a+bi, a=ReZ (действ. часть компл числа), b=ImZ (мнимая). Компл числа равны, если равны их ReZ и ImZ, т.е. если a+bi=c+di ó a=c, b=d. Для С не вводится понятия <,> как для действ чисел.