Метод максимального правдоподобия. Рассмотрим основные методы получения оценок параметров распределения генеральной совокупности

Рассмотрим основные методы получения оценок параметров распределения генеральной совокупности.

Этот метод, предложенный Р. Фишером, состоит в следующем. Пусть закон распределения генеральной совокупности X описывается функцией плотности распределения , если X относится к непрерывному типу или вероятностями , если X дискретна. Здесь — вектор неизвестных параметров, для которых необходимо получить точечные оценки.

Рассмотрим функцию , описывающую закон распределения вектора случайной выборки . Она называется функцией правдоподобия. Поскольку случайные величины { X_i } независимы в совокупности, функция правдоподобия имеет вид

Метод максимального правдоподобия состоит в том, что в качестве оценок параметров берётся вектор , доставляющий максимум функции правдоподобия при заданных значениях x ₁, x ₂,..., x_n:

Точечные оценки, полученные методом максимального правдоподобия, называют МП-оценками.

При поиске точки максимума функции для упрощения расчётов можно:

а) вместо использовать логарифмическую функцию правдоподобия , т.к. от логарифмирования по основанию e > 1 точки максимума не изменяются;

б) не учитывать (отбрасывать) в выражении для функции правдоподобия слагаемые и положительные сомножители, не зависящие от параметров , т.к. и это не изменит точек максимума.

Как правило, МП-оценки получают из необходимого условия экстремума дифференцируемой функции:

(10.1)	или
где	j = 1, 2,..., r.

Уравнения (10.1) называют уравнениями правдоподобия. Для наиболее важных распределений генеральной совокупности уравнения правдоподобия имеют единственное решение , дающее точечную оценку.