Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Доказательство
1. Аналогично доказательству из §8. 2. Если и – любое, например, линейно зависимы. 3. Если – линейно зависимы, то одновременно неравные нулю, так что и хотя бы одно из отлично от нуля линейно зависимы. ч.т.д. Пример. Рассмотрим линейное пространства и докажем, что n элементов из вида , ,…, линейно независимы, а добавление еще одного элемента приводит к линейно зависимой системе. Действительно, рассмотрим линейную комбинацию с . Имеем . Вектор справа равен нулю, если все , т.е. – линейно независимы. Добавим . Тогда по теореме 1, п. 1, достаточно показать, что x – линейная комбинация . Действительно, . 3о. Базис линейного пространства и координаты вектора в базисе. Определение 5. Совокупность векторов называют базисом в , если 1. вектора – линейно независимы; 2. для найдутся . (1) При этом равенство (1) называется разложением элемента по базису , а называются координатами относительно базиса . Теорема 2 (о единственности разложения по базису). Любой элемент может быть единственным образом разложен по базису , т.е. координаты вектора относительно базиса определяются однозначно. Доказательство. Пусть и . Тогда . В силу линейной независимости , что и требовалось доказать. Теорема 3 (операции над векторами, заданными своими координатами). При сложении любых двух векторов и их координаты (относительно любого фиксированного базиса в ) складываются; при умножении на , все координаты вектора умножаются на это число. Доказательство. Пусть – базис в , , . Тогда в силу аксиом линейного пространства , . В силу единственности разложения по базису что теорема доказана. Примеры. 1. Базис в – любое ненулевое число. 2. . Базис образуют матрицы , , …, с одним единичным элементом. 3. – множество многочленов степени не выше n. Базис: , , …, . 4. – см. выше. 4о. Размерность линейного пространства. Определение 6. Линейное пространство называется n–мерным, если 1. В нем n линейно независимых векторов. 2. векторов линейно зависимы. Тогда n называется размерностью и обозначается . Определение 7. Линейное пространство называется бесконечномерным, если в нем любое число линейно независимых векторов. Выясним связь между понятием базиса и размерности линейного пространства. Теорема 4. Если – линейное пространство размерности n, то линейно независимых векторов этого пространства образуют его базис. Доказательство. Пусть – система n линейно независимых векторов из . Если – любой вектор из , то по Def 6, вектора – линейно зависимы, т.е. и среди есть хотя бы одно отличное от нуля. Очевидно, что (т. к. иначе – линейно зависимы) , т.е. – линейная комбинация т. к. – произвольный, то –базис. Теорема 5. Если имеет базис, состоящий из n элементов, то . Доказательство. Пусть – базис в . Достаточно показать, что векторов линейно зависимы. Разложим их по базису: , … , где . Очевидно, что линейная зависимость векторов эквивалентна линейной зависимости строк матрицы . Но строки этой матрицы заведомо линейно зависимы, т. к. порядок базисного минора не превосходит n и хотя бы одна из строк не является базисной, и по теореме о базисном миноре представляет собой линейную комбинацию базисных строк (а стало быть и остальных). Примеры. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 5о. Изоморфизм линейных пространств. Здесь будет показано, что линейные пространства одной и той же размерности в смысле некоторых свойств, связанных с введенными операциями, не отличаются друг от друга. Определение 6. Два произвольных линейных пространства V и над одним и тем же полем называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимнооднозначное соответствие так, что если векторам отвечают соответственные вектора , то вектору отвечает вектор , а вектору при отвечает вектор .
Date: 2015-04-23; view: 922; Нарушение авторских прав |