Численное дифференцирование. Виды конечных разностей. Первая и вторая производная в конечных разностях

Производная функции есть

где

Если Δ x принять равным конечному числу, то

(8.1)

Это соотношение представляет аппроксимацию производной с помощью конечных разностей. При этом шаг аргумента Δ x, то есть разность между соседними значениями аргумента, – обычно принимают одинаковым и обозначают для краткости одной буквой h или .

Допустим имеем значения функ-

Рисунок 8.1 ции с указанным шагом на некотором

отрезке (рис. 8.1), равные . Запишем выражение для производной в точке i (при ). При этом в зависимости от способа вычисления конечных разностей получим разные формулы для вычисления производной
в одной и той же точке:

а) для левой разности будем иметь: (8.1.1)

б) для правой разности получим: (8.1.2)

в) для центральной разности: . (8.1.3)

Учитывая, что для центральной разности берется участок большей длины (), то эта разность будет иметь большие погрешности, чем первые две, и соответственно требует разбивки системы на более мелкие участки. Однако она приводит к симметричным уравнениям и поэтому используется довольно часто.

Для второй производной в точке i будем иметь:

a) слева через правые разности:

(8.2)

б) справа через левые разности: