Нелинейные уравнения. Метод хорд

Как и ранее, предварительно находится отрезок , в пределах которого расположено искомое значение корня (для которого соблюдается условие ).

После этого выполняем следующую процедуру (рис. 9.5):

1) на отрезке проводится хорда, соединяющая ординаты функции F (a) и F (b). Уравнение этой хорды определяется зависимостью, известной из аналитической геометрии, как уравнение прямой, проходящей через две точки:

.

Если принять здесь , то из полученного выражения найдем положение
точки, соответствующей пересечению хордой оси абсцисс и соответственно предполагаемому решению:

, (9.5)

то есть найдем первое приближение к решению – с ₁;

2) вычисляется значение функции в этой точке – ;

3) выполняется анализ изменения функции на отрезках ,
путем вычисления произведений , и выявления, какое из них меньше нуля; в результате находим новый отрезок, в пределах которого находится решение (на рис. 9.5 – это отрезок );

4) проводим новую хорду через ординаты функции F (с ₁) и F (b);

5) используя выражение (9.5) (заменяя в индексах 1 на i), находим новое приближение к решению (на рис. 9.5 – точку с ₂).

Процедуры, изложенные в п. 2–5 (с учетом замены с ₁ на с_i), повторяем
до тех пор, пока величина функции не станет настолько малой, что будет удовлетворять требуемому условию точности решения (9.4).

Анализ показывает, что метод хорд приводит к решению быстрее, чем
метод деления отрезка пополам.

Блок-схема метода хорд аналогична представленной для метода деления отрезка пополам с той разницей, что вместо вычисления приближения корня по формуле (с + b) / 2 нужно использовать формулу (9.5).

Для решения нелинейных уравнений могут применяться также метод Ньютона (метод касательных), метод простой итерации и другие методы.