Нелинейные уравнения. Метод деления отрезка пополам

Если нам удалось найти отрезок , в котором расположено искомое значение корня () (рис. 9.3), то здесь далее итерационный процесс выполняется в следующем порядке:

1) в качестве первого значения принимается середина отрезка :

;

2) вычисляется значение функции в этой точке – ;

3) выполняется анализ изменения функции на отрезках ,
путем вычисления произведений , и выявления, какое из них меньше нуля; в результате находим новый отрезок, в пределах которого находится решение (на рис. 9.3 – это отрезок );

4) теперь в качестве очередного приближения принимаем середину этого
отрезка

5) и вычисляем значение функции в этой точке – ;

6) выполняется анализ изменения функции на отрезках , , определяя, какое из произведений или меньше нуля и соответственно в пределах какого отрезка находится искомое решение (на рис. 9.3 это отрезок );

7) далее берем уже середину отрезка – , и повторяем процедуры, изложенные в п. 5 и 6, определяя новый более узкий отрезок (), в пределах которого находится решение.

Таким образом, повторяя рассмотренную процедуру, мы все ближе приближаемся к искомому решению и после каждой итерации отрезок, в пределах которого находится решение, уменьшается вдвое (после n итераций – в 2 ⁿ раз).

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значение функции по модулю после некоторой n -ой итерации не станет меньшим некоторого заданного малого числа (например, 10^–4):

. (9.4)

Представим блок-схему рассматриваемого итерационного процесса для
некоторой функции , изменяющейся в пределах от А до В (рис. 9.4). Начальный шаг изменения функции принимаем достаточно малым, но имеющим конечную величину.