Угол между векторами. Из определения скалярного произведения двух векторов следует, что Если векторы и заданы координатами и

Из определения скалярного произведения двух векторов следует, что Если векторы и заданы координатами и , то формула (1.6.3.1) запишется в виде:

Площадь параллелограмма,построенных на векторах

Задачи на измерение длин отрезков, расстояний между точками, площадей поверхностей и объемов тел относятся к важному классу проблем, которые принято называть метрическими. В предыдущем разделе мы познакомились с тем, как использовать векторную алгебру для вычисления длин отрезков и расстояний между точками. Теперь мы собираемся найти способы вычисления площадей и объемов. Векторная алгебра позволяет ставить и решать подобные задачи только для достаточно простых случаев. Для вычисления площадей произвольных поверхностей и объемов произвольных тел требуются методы анализа. Но методы анализа в свою очередь существенным образом опираются на те результаты, которые дает векторная алгебра.

Для решения поставленной задачи, мы избрали достаточно долгий и непростой путь, подсказанный Гильбертом Стренгом [19], связанный с многочисленными геометрическими преобразованиями и кропотливыми алгебраическими вычислениями. Мы избрали этот путь несмотря на то, что существуют другие подходы, которые быстрее приводят к цели потому, что он показался нам прямым и естественным. Прямой путь в науке не всегда оказывается самым простым. Люди искушенные знают об этом и предпочитают пути окольные, но если не попытаться пройти прямиком, то можно так и остаться в неведении относительно некоторых тонкостей теории.

На избранном нами пути естественным образом появляются такие понятия как ориентация пространства, определитель, векторное и смешанное произведения. Особенно наглядно, как под микроскопом, проявляется геометрический смысл определителя и его свойств. Традиционно понятие определителя вводится в теории систем линейных уравнений, но именно для решения таких систем определитель почти бесполезен. Геометрический же смысл определителя существенен для векторной и тензорной алгебры.

А теперь запасемся терпением и начнем с самых простых и понятных случаев.

1. Векторы ориентированы вдоль координатных осей декартовой системы координат.

Пусть вектор a направлен по оси x, а вектор b вдоль оси y. На рис. 21 показаны четыре различных варианта расположения векторов по отношению к осям координат.

Векторы a и b в координатной форме: Где a и b означают модуль соответствующего вектора, а – знак координаты вектора.

Поскольку векторы ортогональны, то параллелограммы, построенные на них, являются прямоугольниками. Их площади равны просто произведению их сторон. Выразим эти произведения через координаты векторов для всех четырех случаев.

Все четыре формулы для вычисления площади одинаковы за исключением знака. Можно было бы просто закрыть на это глаза и записать, что во всех случаях. Однако более продуктивной оказывается другая возможность: придать знаку какой-то смысл. Посмотрим внимательно на рис. 21. В тех случаях, когда , поворот вектора к вектору осуществляется по часовой стрелке. В тех же случаях, когда мы вынуждены использовать в формуле знак минус, поворот вектора к вектору осуществляется против часовой стрелки. Это наблюдение позволяет связать знак в выражениях для площади с ориентацией плоскости.

Площадь прямоугольника, построенного на векторах a и b, со знаком плюс или минус будем считать ориентированной площадью, при этом знак будем связывать с ориентацией, задаваемой векторами. Для ориентированной площади мы можем записать единую формулу для всех рассмотренных четырех случаев: . Знак "векторной" черты над буквой S вводится для того, чтобы отличить обычную площадь, которая всегда положительна, от ориентированной.

При этом, очевидно, что те же самые векторы, взятые в другом порядке, определяют противоположную ориентацию, поэтому, . Просто площадь будем по-прежнему обозначать буквой S и, следовательно,.

Теперь, когда казалось бы ценой расширения понятия площади, мы получили общее выражение, внимательный читатель скажет, что мы рассмотрели не все возможности. Действительно, кроме четырех вариантов расположения векторов, представленных на рис. 21, имеются еще четыре (рис. 22) Запишем снова векторы и в координатной форме: Выразим площади через координаты векторов. 4. . Знаки в новых выражениях не поменялись, но, к сожалению, поменялась ориентация по отношению к предыдущим четырем случаям. Поэтому для ориентированной площади мы вынуждены записать: . Хотя надежда на гениальную простоту и не оправдалась, но, тем не менее, мы все-таки можем записать общее выражение для всех четырех случаев.

То есть, ориентированная площадь прямоугольника, построенного на векторах, как на сторонах, равна определителю, составленному из координат векторов, как из столбцов.

Мы полагаем, что с теорией определителей читатель знаком, поэтому, мы не останавливаемся подробно на этом понятии. Тем не менее, мы даем соответствующие определения, для того чтобы изменить акценты и показать, что к этому понятию можно прийти из чисто геометрических соображений. Итак, , , , – различные формы обозначения для одного и того же понятия – определителя, составленного из координат векторов, как из столбцов. Равенство может быть принято за его определение для двухмерного случая.

Теперь мы можем считать, что для всех частных случаев расположения векторов относительно декартовой системы координат у нас есть общее выражение для ориентированной площади.

2. Вектор b не параллелен оси x; вектор a/ является произвольным вектором.

Для того чтобы свести этот случай к уже известным, рассмотрим некоторые геометрические преобразования параллелограмма, построенного на векторах и (рис.. смешанные произведения векторов и его свойства