Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Угол между двумя прямыми. Буду кратким. Угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами





30 мая 2011

Буду кратким. Угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами. Таким образом, если вам удастся найти координаты направляющих векторов a = (x1; y1; z1) и b = (x2; y2; z2), то сможете найти угол. Точнее, косинус угла по формуле:

Посмотрим, как эта формула работает на конкретных примерах:

Задача. В кубе ABCDA1B1C1D1 отмечены точки E и F — середины ребер A1B1 и B1C1 соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF.

Поскольку ребро куба не указано, положим AB = 1. Введем стандартную систему координат: начало в точке A, оси x, y, z направим вдоль AB, AD и AA1 соответственно. Единичный отрезок равен AB = 1. Теперь найдем координаты направляющих векторов для наших прямых.

Найдем координаты вектора AE. Для этого нам потребуются точки A = (0; 0; 0) и E = (0,5; 0; 1). Поскольку точка E — середина отрезка A1B1, ее координаты равны среднему арифметическому координат концов. Заметим, что начало вектора AE совпадает с началом координат, поэтому AE = (0,5; 0; 1).

Теперь разберемся с вектором BF. Аналогично, разбираем точки B = (1; 0; 0) и F = (1; 0,5; 1), т.к. F — середина отрезка B1C1. Имеем:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).

Итак, направляющие векторы готовы. Косинус угла между прямыми — это косинус угла между направляющими векторами, поэтому имеем:

Задача. В правильной трехгранной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, отмечены точки D и E — середины ребер A1B1 и B1C1соответственно. Найдите угол между прямыми AD и BE. Введем стандартную систему координат: начало координат в точке A, ось x направим вдоль AB, z — вдоль AA1. Ось y направим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью ABC. Единичный отрезок равен AB = 1. Найдем координаты направляющих векторов для искомых прямых.

Для начала найдем координаты вектора AD. Рассмотрим точки: A = (0; 0; 0) и D = (0,5; 0; 1), т.к. D — середина отрезка A1B1. Поскольку начало вектора AD совпадает с началом координат, получаем AD = (0,5; 0; 1).



Теперь найдем координаты вектора BE. Точка B = (1; 0; 0) считается легко. С точкой E — серединой отрезка C1B1 — чуть сложнее. Имеем: Осталось найти косинус угла: Задача. В правильной шестигранной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, отмечены точки K и L — середины ребер A1B1 и B1C1 соответственно. Найдите угол между прямыми AK и BL. Введем стандартную для призмы систему координат: начало координат поместим в центр нижнего основания, ось x направим вдоль FC, ось y — через середины отрезков AB и DE, а ось z — вертикально вверх. Единичный отрезок снова равен AB = 1. Выпишем координаты интересующих нас точек: Точки K и L — середины отрезков A1B1 и B1C1 соответственно, поэтому их координаты находятся через среднее арифметическое. Зная точки, найдем координаты направляющих векторов AK и BL:

Теперь найдем косинус угла: Задача. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, отмечены точки E и F — середины сторон SB и SC соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF. Введем стандартную систему координат: начало в точке A, оси x и y направим вдоль AB и AD соответственно, а ось z направим вертикально вверх. Единичный отрезок равен AB = 1.

Точки E и F — середины отрезков SB и SC соответственно, поэтому их координаты находятся как среднее арифметическое концов. Выпишем координаты интересующих нас точек:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Координаты вектора AE совпадают с координатами точки E, поскольку точка A — начало координат. Осталось найти косинус угла:

 






Date: 2015-05-22; view: 374; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2020 year. (0.01 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию