Координаты точки, радиус- вектор точки, произвольные вектора. Длина вектора

Сохраняет линейные операции: сумме векторов соответствует сумма их одноименных координат, произведению вектора на число соответствует произведение его координат на это число. Такое взаимно однозначное соответствие называется изоморфизмом.

На практике координаты векторов удобно представлять в виде матриц-столбцов (или матриц-строк), которые называются координатными столбцами (координатными строками).

В базисе вектору соответствует координатный столбец .Обозначение базиса можно не указывать, если не может возникнуть неоднозначности. Линейным операциям над векторами соответствуют линейные операции над их координатными столбцами. Например, если в одном и том же базисе векторам и соответствуют координатные столбцы и , то их линейной комбинации соответствует координатный столбец , т.е. координатный столбец линейной комбинации векторов равен линейной

Координаты точки, радиус- вектор точки, произвольные вектора. Длина вектора.

Проекция т. М на α Чтобы найти проекцию точки на прямую, нужно через точку провести плоскость перпендикулярно этой прямой. Опр. Вектор, соединяющий начало координат т. О с произвольной точкой пространства называется радиус- вектор этой точки. Радиус- вектор т. М – ОМ.

Найдем координаты радиус- вектора ОМ

ОА= xi

ОВ= yj

ОС= zk

OM= OP+ PM= OA+ OB+ OC= xi+ yj+ zk= (x, y, z)

Вывод: координаты радиус- вектора точки совпадает с координатами самой точки ОМ= (x, y, z)

Вектор ОМ является диагональю параллелепипеда, по свойству диагоналей d²= a²+ b²+ c² отсюда следует, что │ОМ│²= x²+ y²+ z². Извлекая, квадратный корень получаем длину

Возьмем две произвольные точки. т. А(x₁, y₁, z₁) и т. В (x₂, y₂, z₂). Соединим АВ. Вспомогательные векторы

ОА= (x₁, y₁, z₁)

ОВ= (x₂, y₂, z₂)

АВ= ОВ- ОА= (x₂, y₂, z₂)- (x₁, y₁, z₁)= (x₂- x₁,, y₂- y₁, z₂- z₁)

Вывод: чтобы найти координаты вектора нужно их координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала вектора.

АВ= (x₂- x₁,, y₂- y₁, z₂- z₁)

Пр. Даны 3 точки. т. А(2,-1,3), т. В(4,0,1), т. С(-1,2,1). Найти АВ и его длину │АВ│, m= AB- 2BC.