Скалярное произведение векторов и его свойства

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из двух векторов нулевой, то угол между ними не определён, а скалярное произведение считается равным нулю. Скалярное произведение векторов и обозначается

Формуле (6.1) можно придать иной вид. Так как | a| cosg=пр ba, (см. рис.14), a |b| cosg = пр ab, то получаем: т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором. Свойства скалярного произведения

1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba 5. Если векторы а и b (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если a ^b, то ab=0. Справедливо и обратное утверждение: если ab=0 и а¹ 0 ¹b, то а ^ b Выражение скалярного произведения через координаты

Пусть заданы два вектора

Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов i, j, k: Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

Три некомпланарных вектора a, b и с, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору b виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который:

1. Перпендикулярен векторам a и b, т. е. с^а и с^b;

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах (см. рис. 17), т. е. 3.Векторы a, b и с образуют правую тройку Векторное произведение обозначается а х b или [а,b]. Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i, j и k (см. рис. 18):

i х j = k, j х k = i, k х i = j.

Докажем, например, что iхj=k.

1) k^i, k^j;

2) |k|=1, но | i x j| = |i| • |J| • sin(90°)=1;

3) векторы i, j и k образуют правую тройку (см. рис. 16).

7.2. Свойства векторного произведения

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. а хb =(b хa) (см. рис. 19).

Векторы ахb и b ха коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а, b, а хb и a, b, bxa противоположной ориентации). Стало быть axb = -(bxa).

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. l(а хb) = (lа) х b = а х (lb). Пусть l>0. Вектор l(ахb) перпендикулярен векторам а и b. Вектор (lа)хb также перпендикулярен векторам а и b (векторы а, lа лежат в одной плоскости). Значит, векторы l(ахb) и (lа)хb коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину: Поэтому l(a хb)= lахb. Аналогично доказывается при l<0.

3. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а||b <=>ахb =0. 4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

(a+b) хс= ахс+b хс.

Примем без доказательства.