Методические указания и рекомендации. I. В третьей главе объединены, по существу, два различных

I. В третьей главе объединены, по существу, два различных

вопроса: математический аппарат и общие теоремы квантовой

механики, изложенные на его основе.

По теории операторов кратко сообщаются самые необходимые

сведения. Их можно при желании расширить, пользуясь литерату-

литературой (например, [3], [5], [11]).

Важную роль играют аксиомы или постулаты квантовой механи-

механики, так как они устанавливают соответствие между идеальными

математическими и реальными физическими объектами — функция-

функциями и операторами, с одной стороны, и системами микрочастиц,

измеримыми величинами, физическими явлениями — с другой.

Необходимо подчеркнуть модельный характер применяемых для

математического описания реальных систем функций состояния,

операторов величин и разобрать отображение реальных объектов

на математические.

Непосредственная связь физической величины с числовым

103множеством значений ее в классической физике нередко приводит

к отождествлению физического свойства с количественной харак-

характеристикой. Отсутствие прямой связи между числом и величиной

в квантовой механике может быть понято только при углублении

общего понятия о физической величине.

Операторы координаты и импульса постулированы. Это сделано

с целью упрощения и придания важному материалу необходимой

для первоначального изучения вопроса компактности. Однако

обращаем внимание лектора и читателя на возможное обоснование

выбора этих операторов, связанное с толкованием г|5-функции и

определением среднего (см. пример 8.9).

Следует иметь в виду, что в главе не помещены все сведения

по математическому аппарату, нужному для изучения программного

материала: изложение стало бы слишком тяжеловесным и оторван-

оторванным от физического содержания. Поэтому некоторые математические

вопросы рассматриваются далее в курсе по мере необходимости,

а в третьей главе аппарат применяется для изучения законов

изменения и сохранения величин с течением времени. Помимо при-

прикладного предназначения математические вопросы весьма содержа-

содержательны в познавательном отношении. Установить возможно полнее

связь классической механики с квантовой — значит прояснить

много трудных мест квантовой механики, углубить понимание

исходных принципов всей физики.

Законы сохранения изложены в связи со свойствами пространства

и времени. Такой подход (углубленный уровень) осуществлялся

в рамках лагранжева формализма в классической механике

(см. ч. I, § 23). В квантовой механике с помощью операторов из-

изложение особенно лаконично. Однако и здесь § 9, пп. 5 и 6 от-

относятся к углубленному уровню.

II. При изучении материала рекомендуется иллюстрировать

теоретические положения примерами, опираясь на конкретный

материал второй главы (некоторые примеры даны в тексте).

Студентам полезно самим составлять примеры. Для успешного

усвоения материала надо выполнить и упражнение к главе.

Полезно проконтролировать усвоение в поиске ответов на сле-

следующие вопросы:

— Дайте определение ортонормированной системы функций.

Определите б-функцию и назовите ее основные свойства. Укажите

правило вычисления коэффициентов Фурье. Дайте определение

оператора, линейности операторов, самосопряженности. Приведите

примеры сложения и умножения операторов. Запишите оператор-

операторное уравнение для собственных функций и назовите все входящие

в него математические символы. Дайте определение собственной

функции оператора, собственного значения. Приведите примеры соб-

собственных функций и собственных значений. Сформулируйте (и вы-

выпишите вместе) постулаты, связывающие математический аппарат

квантовой механики с физическими объектами. Обсудите физи-

физический смысл ситуации, при которой величина не имеет определен-

определенного значения. Дайте математическое описание этой ситуации.

104Объясните, что происходит при реальном измерении в таком случае.

— Запишите операторы производных по времени для координа-

координаты, импульса при заданном Н и дайте трактовку соответствующих

уравнений. Выведите теоремы Эренфеста и дайте качественный

анализ их содержания. Назовите законы сохранения в квантовой

механике и условия, в которых они выполняются. Проанализируйте

связь между законами сохранения и уравнением Шредингера,

с одной стороны, симметриями пространства-времени — с другой.

Найдите непосредственно по функциям состояния четность состоя-

состояний частицы в потенциальной яме и гармонического осциллятора.

Рассчитайте четность кванта, испускаемого при переходе между

соседними уровнями для ямы, для осциллятора.

Упражнение III

1. Покажите, что оператор интегрирования является линейным.

2. Покажите, что сумма и произведение линейных операторов

являются линейными операторами.

3. Покажите, что [Lx, Ly] = ihLz, где

4. Найдите квадрат оператора:

Ответ: А2 = х2 + х-^+£¥+ 1.

5. Найдите собственные значения и собственные функции опера-

оператора: Lz= —ih-^-, где ф — угол вращения вокруг оси Oz.

Указание. Однозначность собственных функций требует

выполнения равенства f (ср-|-2л) = / (ср).

Ответ. L2 = mh, m = 0, ±1, ±2,..., fm=—L-e'T

V2

V

6. Покажите для случая невырожденных собственных значе-

значений, что коммутирующие операторы имеют общие собственные

функции. _л _

Решение. Дано АВ = ВА. Пусть Ац> = а<р. A)

Требуется доказать, что Вц> = Ь<р.

Для доказательства умножим на оператор В обе стороны равен-

равенства A):

В

Используя коммутативность операторов и линейность операто-

оператора В, получаем

А(Вц,) = а(Вц>).

Сравнивая с A), видим, что функции ф и Вц> должны совпа-

105дать с точностью до постоянного множителя. Отсюда Вц> — Ьц>, что

и требовалось доказать.

7. Покажите, что сумма самосопряженных операторов есть

самосопряженный оператор.

8. Покажите, что произведение самосопряженных операторов

есть самосопряженный оператор, если операторы коммутируют.

9. Покажите, что система функций

<Pn = -p=einx, я = 0, ±1, ±2,...

^2

является ортонормированной на интервале [ — л, л].

10. Покажите, что разложение в ряд по системе функций ф„

предыдущей задачи эквивалентно разложению в тригонометри-

тригонометрический ряд Фурье.

11. Разложите в ряд Фурье функцию

f (*>-{£•_'

по системе собственных функций задачи 9. Вычислите сумму ряда

в точках 0, ±-?-, ±л.

Указание. Для вычисления суммы используйте разложение

arctg <,= 1—i-i,3+-i-9s-...

12. Покажите, что

где фп — ортонормированная система функций; сумма 2j Спц>п (х) —

разложение в ряд функции / (лс).

Замечание. Если)|/(х)—2 Спф„ (x)\2dx=0, то говорят,

Gnffn (x) сходится в среднем к функции f (x). Соотношение

п

называется условием замкнутости системы функций ф„. Оно в рас-

рассматриваемых нами случаях эквивалентно условию полноты.

13. Нормируйте на б-функцию собственные функции оператора

проекции импульса рх (см. выражение (8.2)).

Указание. Используйте формулу б М="о~\ ^кх dx.

14. Покажите, что система собственных функций оператора

Lz является ортонормированной, а сам оператор — самосопряжен-

самосопряженным (см. задачи 5 и 9).

10615. Система находится в состоянии, описываемом волновой

функцией г|;=—sin ср, где ф — угол вращения вокруг оси Oz. Опре-

делите, с какой вероятностью измерение даст различные значения

проекции момента импульса Lz (см. задачу 5).

Ответ. L2 = mh, Wm = 0 при тф±\, a №±i=-^-.

16. Пользуясь операторами координаты и импульса, определите

среднее значение этих величин для осциллятора с функцией состоя-

состояния F.19).

17. Повторите вывод формулы (8.7), предполагая спектр опера-

оператора А непрерывным.

18. Объясните, почему невозможны состояния с определенным

вектором момента импульса (см. задачу 3).

19. Возможны ли состояния с определенным модулем момента

импульса и его проекции на ось Oz?

Указание. Используйте данные задачи 3 к главе III и зада-

задачи 11 к главе IV.

20. Запишите квантовое уравнение движения для гармоническо-

гармонического осциллятора.

Ответ, тх = — «1

21. Запишите преобразование инверсии в сферических коорди-

координатах.

Ответ. r-+r' = r, 0->-0' = л — 9, ф-»-ф' = ф + 2л.

22. Выведите соотношения неопределенностей D.8), используя

основные положения квантовой механики.

Решение.

Будем характеризовать неопределенность в значении какой-

либо величины а средним квадратичным отклонением:

8а=л1(а -of =л]а2-(аJ.

Найдем 8х и Ьрх. Без ограничения общности можно положить

х = 0 и р = 0. (Это достигается подходящим выбором системы от-

отсчета.) Согласно формуле (8.7)

?=$,|,*xVx, р2=\ у* Ср2,) №= -п2 \ у* ^dx.

Возьмем теперь очевидное неравенство

A)

B)

107

где аир — любые действительные числа.

Преобразуем подынтегральное выражение: Используя соотношение B), представим неравенство A) в виде

2 2 C)

где

dx dx

Интегрируя по частям, получим

Для выполнения неравенства C) при любых аир необходимо

и достаточно, чтобы

Отсюда