Собственные функции и собственные значения операторов

Равенство

Лф = аср, G.5)

где А — оператор; а — число (в общем случае комплексное);

Ф — функция, называется уравнением для собственных функций и

собственных значений оператора (если задан оператор А и требуется

найти ф и а). Если функция удовлетворяет рассмотренным выше

стандартным требованиям для ^-функций, то она называется соб-

собственной функцией оператора А, принадлежащей его собственному

значению а. Совокупность всех собственных значений называется

спектром оператора. Спектр бывает дискретным, непрерывным или

смешанным.

Решения уравнения G.5) могут оказаться функциями состояния

некоторой механической системы. Поэтому на функции ф либо в

процессе решения уравнения G.5), либо после решения наклады-

накладываются рассмотренные выше стандартные требования непрерыв-

непрерывности, однозначности, ограниченности во всех точках пространства

и (не всегда) квадратичной интегрируемости.

Собственное значение называется вырожденным, если ему со-

соответствует несколько линейно независимых собственных функций.

Кратность вырождения определяется числом таких функций.

Пример 7.3. Нахождение собственных значений и собственных функций

оператора.

Возьмем оператор А =-гт- Уравнение G.5) для него имеет вид

G-6)

Положим а=—и2. Уравнение G.6) при всех действительных ш имеет два незави-

независимых решения: е"" и е~шх, удовлетворяющих требованиям однозначности, не-

непрерывности и ограниченности по модулю. Отсюда видно, что спектр оператора А

непрерывен и охватывает все отрицательные действительные числа. Каждое соб-

собственное значение двукратно вырождено. Заметим, что любая линейная комби-

комбинация CieJC + C2e~'MJC также является собственной функцией оператора А, при-

принадлежащей тому же собственному значению: а=— ш.

Коммутирующие операторы имеют общую систему собственных

функций. Это означает, что любая собственная функция одного

оператора является также собственной функцией другого оператора.

Например, экспонента eib является собственной функцией опера-

операторов —, — и —.

7.4. Самосопряженные операторы.

Оператор А называется само-

самосопряженным или эрмитовым, если выполняется равенство

\ г|з* (х) Лф (х) dx = \[A$ (x)]* Ф (х) dx. G.7)

Здесь г|з и ф — функции, для которых выполнение всех указанных

действий в G.7) имеет смысл.

Пример 7.4. Самосопряженные операторы.

Самосопряженными операторами являются, например А = х и A—i—. Для

75оператора умножения иа переменную х это очевидно. Для другого оператора имеем

— со J UX I — с

Если допустить, что 1)) и ф обращаются в нуль на бесконечности, то приходим

к равенству G.7).

Самосопряженный оператор может действовать не только иа затухающие

в бесконечности функции. Рассмотрим оператор A=i-r- и функции ty = e"",

Ф=е*'*. Подстановка их в правую и левую части равенства G.7) дает

\ q*Aydx = —q2n6(q — k),

\ f dx=— k2nb (k — q).

Выполнение символического равенства q6 (q — k) = kb (k — q) свидетельствует о

самосопряженности оператора.

Сумма самосопряженных операторов есть самосопряженный

оператор. (То же можно сказать о произведении, если операторы

коммутируют.)

Применение самосопряженных операторов в квантовой механике

обусловливается прежде всего тем, что их собственные значения

всегда вещественны. Пусть выполняется равенство G.5). Подставим

функцию ф вместо ty в формулу G.7):

\ (p*A(fdx=\ (Лф)* q>dx,

или

a) M2dx = a*i 1ф12^лг,

а = а*.

Собственные значения оказались вещественными числами.

Собственные функции эрмитовых операторов попарно орто-

ортогональны. Пусть ф| и ф2 — собственные функции оператора А, со-

соответственно принадлежащие разным собственным значениям:

а\ и й2. Тогда

Подставим ф1 и ф2 в равенство G.7) вместо г|з и ф. Получим

или

Отсюда видно, что

Поскольку уравнение G.5) для собственных функций оператора

определяет функции с точностью до постоянного множителя, то их

76

3 ф'фг^л: = 0. можно нормировать на единицу (или, если функции не затухают

на бесконечности, нормировать на 6-функцию).

Собственные функции самосопряженного оператора, принадлежащие разным

собственным значениям, ортогональны друг другу. Было показано, что это справедли-

справедливо для невырожденных собственных значений. Вырожденные собственные функции,

относящиеся к одному и тому же собственному значению, вообще говоря, не-

неортогональны друг другу.

Пусть ф, — такие функции; кратность вырождения равна п. Составим из них п

линейных комбинаций:

Функции if» также являются собственными функциями рассматриваемого

оператора и принадлежат тому же собственному значению. Если

Лф,=аф„

то и Л

Числа Ьи подбирают так, чтобы функции if* были нормированы и ортогональны

друг другу.

Из сказанного ясно, что собственные функции самосопряженного оператора

всегда можно выбрать таким образом, чтобы они образовали ортонормированную

систему.

Важнейшей особенностью эрмитовых операторов, обусловливаю-

обусловливающих их применение в квантовой механике, наряду с веществен-

вещественностью собственных значений является полнота системы собственных

функций. Это значит, что в случае дискретного спектра по собствен-

собственным функциям эрмитового оператора может быть разложена любая

функция состояния в обобщенный ряд Фурье. В случае непрерыв-

непрерывного спектра разложение производится в интеграл Фурье.

Заметим, что индекс собственной функции оператора, одновремен-

одновременно являющийся индексом его собственного значения, часто есть

некоторое квантовое число, входящее в формулу собственного

значения (см. пример 7.5). В случае непрерывного спектра он играет

роль непрерывного параметра, входящего в собственную функцию

(см. функции состояния свободной частицы (3.22)).

Пример 75 Система собственных функций и собственных значений опера-

оператора.

Вернемся к системе функций стационарных состояний для микрочастицы в

потенциальной яме (§ 5, п 2). Если уравнение E.4) записать в виде

то оно окажется уравнением для собственных функции i)jn оператора —-?——,,

2т их

принадлежащих различным значениям энергии £„. Система функций E.7) является

полной, и по ней можно разложить любую функцию if, ограниченную на интервале

0<х<а.

Аналогично положение с задачей об осцилляторе (см. § 6). Если уравнение (6.2)

записать в виде

то окажется, что i|jn — собственные функции оператора, заключенного в скобки,

77принадлежащие различным значениям энергии Е„. Система функций ySpn является

полной, и по ней может быть разложено общее решение уравнения (6.2).

Из примеров видно, что в стационарных состояниях энергия принимает значе-

значения, собственные для некоторого оператора. Забегая вперед, скажем, что опре-

определенные значения физической величины — это спектр собственных значений ее

оператора.

§ 8. АКСИОМАТИКА КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

8.1. Математический аппарат квантовой механики.

В каждой

фундаментальной физической теории применяются свои специфические математические средства — математический аппарат. В классической механике это векторы и дифференциальные уравнения, в электродинамике добавляется векторный анализ. В квантовой механике математический аппарат заимствован из математической

теории линейных самосопряженных операторов. (С элементами этой теории читатель познакомился в предыдущем параграфе.)

Применение математического аппарата в квантовой механике основано на нескольких постулированных утверждениях; опираясь на них, можно хотя бы в принципе решить все конкретные задачи.

В данном параграфе рассматривается часть этих положений, далее по мере необходимости к ним добавится еще несколько постулатов.

Ниже даются такие формулировки, чтобы в дальнейшем их можно было использовать как для изучения одной частицы, так и системы частиц. (Однако в тексте параграфа слово «система» применяется главным образом к простейшему объекту — микрочастице, находящейся во внешнем потенциальном поле. Распространение всех

понятий и законов на системы нескольких частиц обсуждается в главе V.)

Обратим внимание читателя на то, что изложение физических теорий, как правило, отличается от чисто дедуктивных математических построений: в них обычно не выделяется минимальный и полный перечень аксиом. Физика всегда апеллирует к опыту и

опирается на оптимальную, т. е. наиболее удобную для практики,

систему аксиом.

8.2. Операторы и допустимые значения физических величин.

Мы

уже видели на примере решения простейших задач квантовой механики, что энергия микросистем принимает дискретные значения, т. е. определенным образом квантуется. Это значит, что использовать для энергии и ряда других физических величин просто вещественные (действительные) числа или векторы, как это делалось в классической механике и электродинамике, нельзя: не все точки числовой оси для энергии допустимы (например, см. задачу о гармоническом осцилляторе). Связь между физической величиной и ее математической моделью устанавливается постулатом: в квантовой механике основным физическим величинам сопоставляются линейные самосопряженные операторы.

Обычно оператор обозначается той же буквой, что и величина в классической физике.

Исходным являются операторы координаты и импульса. Постулируется, что оператор координаты х есть действие умножения на эту переменную:

л

х = х.

Оператор проекции импульса рх выражается формулой

px=-ih£. (8.1)

Операторы других физических величин можно найти, руководствуясь простым правилом, вытекающим из принципа соответствия между классической и квантовой физикой: соотношения между операторами физических величин такие же, как и между этими

величинами в классической физике (если в результате действий получается самосопряженный оператор).

Правило позволяет сразу написать формулы для операторов важнейших механических величин:

радиус-вектор

Г Т = ~г, (8.1-1)

импульс

p-=ipx + ]py + kp:=-ihV, (8.1-2)

момент импульса л

Z=[fp\=-i%[rv}, (8.1-3)

кинетическая энергия

?=¥-=—^ Д, (8.1-4)

2т 2т у '

потенциальная энергия

U = U(lt) = U(x,y,z,t), (8.1-5)

полная механическая энергия

H=T+U=-£A+U(x,y,z,t). (8.1-6)

Оператор полной энергии называется оператором Гамильтона или гамильтонианом. Он обозначается символом Н, так как в общем случае это квантовый аналог классической функции Гамильтона.

Далее мы увидим, что оператор Гамильтона играет особо важную роль, ибо его собственные функции оказываются волновыми функциями стационарных состояний. Кроме того, он входит в основное уравнение квантовой механики — уравнение Шредингера.

Связь между оператором и наблюдаемыми при измерениях значениями физической величины дается постулатом: физическая величина может принимать те и только те значения, которые совпадают с собственными значениями ее оператора.