Описание состояния квантовой системы и его изменения

со временем.

Следующий постулат относится к функциям, которые мы ранее назвали волновыми или функциями состояния.

Наиболее полное описание состояния квантовой системы достигается заданием соответствующей этому состоянию волновой функции.

В ней заключена вся информация о системе. Функция состояния позволяет определить плотность вероятности для положения частицы (или совокупности частиц) в пространстве и ее изменение во времени.

С помощью волновой функции осуществляется расчет возможных результатов физических экспериментов и измерений физических величин, определяются средние значения физических величин в заданном состоянии и извлекается другая информация. Изменение волновой функции со временем отражает эволюцию состояния

квантовой системы под действием внешних сил.

Для определения функции состояния в каждом конкретном случае микросистемы и взаимодействия в ней или с внешними объектами постулируется основное уравнение.

Основным уравнением квантовой механики является уравнение Шредингера:

|* (8.3)

Записанное в таком виде уравнение пригодно для любых квантовых объектов. В зависимости от того, изучается ли отдельная частица, атом или кристалл в целом — изменяется вид оператора

Гамильтона Я, структура же уравнения остается одной и той же.

С частным случаем уравнения Шредингера мы уже знакомились

раньше. Подставляя в уравнение (8.3) гамильтониан (8.1—6), полу-

получаем уравнение C.1).

Можно говорить об аналогии между основной задачей класси-

классической механики — по силовому полю с помощью второго закона

Ньютона найти кинематическое уравнение движения материальной

точки r = r(f) — и основной задачей квантовой механики — по

заданному гамильтониану системы с помощью уравнения Шредин-

Шредингера найти функцию состояния г|> (г, t).

Оператор Гамильтона характеризует микросистему с динами-

динамической стороны; его вид зависит от масс частиц, их электрических

зарядов, взаимодействия между ними. Ему принадлежит особая

роль в квантовой механике, ибо знание гамильтониана необходимо

для составления основного уравнения. В принципе гамильтониан

должен быть задан в конкретных задачах квантовой механики

подобно тому, как задаются сила в классической механике при ис-

использовании уравнения второго закона Ньютона или же функции

Лагранжа и Гамильтона при использовании соответствующих

уравнений аналитической механики. В ряде случаев гамильтонианы

строят по принципу соответствия, используя классические выражения

и заменяя в них координаты и импульсы на соответствующие

операторы.

Волновые функции — решения уравнения Шредингера — яв-

являются комплексными функциями вещественных переменных.

Аргументы волновой функции — координаты частиц и время, причем

81для многих действий над функциями время является параметром.

Если силовое поле стационарно, то уравнение (8.3) допускает реше-

решения вида

-LEt

q(x,y,z,t)=y(x,y,z)e

Координатная часть функции состояния ср (х, у, z) является соб-

собственной функцией гамильтониана, т. е. удовлетворяет уравнению

Яф£=£ф£. (8.4)

Поэтому действительная величина Е является полной энергией

системы.

Уравнение (8.4) называется стационарным уравнением Шредин-

гера. Подставляя в него гамильтониан (8.1), получаем уравнение

C.7), с помощью которого выше изучались стационарные состояния

одной частицы в потенциальных полях простейшего вида.

Пример 8.3. Собственные функции и собственные значения оператора

Гамильтона для свободной частицы.

— h2

Энергия свободной частицы описывается оператором: Т=— ^— А; следова-

следовательно, вместо (8.4) имеем

-А. Дф=£ф.

Решение этого уравнения найдено в гл. I, § 3, п. 5:

где Л=—-\/2т£. Решение ямеет смысл при всех положительных значениях £. Таким

п л

образом, ф — собственные функции оператора Г с непрерывным спектром (поло-

(положительных) собственных значении: 0<£<оо.

Пример 8.4. Собственные функции и собственные значении оператора

Гамильтона для осциллятора.

Оператор Гамильтона в данном случае имеет вид

~ П2 d2, m<oV

И+

Уравнение (8.4) при подстановке в него этого оператора конкретизируется:

П2 d2^ mo)V

Но это уже решенное ранее уравнение F.2); собственные функции оператора Я —

умноженные на экспоненту полиномы Чебышева — Эрмита F.16), а спектр его соб-

собственных значений определяется формулой F.18): £„=Й<о("+-п"). п — 0, 1,2,...

Поскольку уравнение (8.4) есть уравнение в частных производ-

производных, то его конкретное решение г|> существенно зависит от граничных

условий. Так, дискретный характер спектра энергии состояний во

многих случаях определяется требованием затухания г|)-функции на

бесконечности.

В случае нестационарного поля общее решение уравнения (8.3)

есть некоторая функция времени. Для ее определения необходимо

знание начального условия, т. е. вида волновой функции в на-

82чальный момент времени. Дальнейшая эволюция состояния оп-

определяется уравнением Шредингера через найденную в процессе

его решения зависимость: г|) = г|)(/).

8.4. Вероятности отдельных значений физической величины.

Состояние квантовой системы описывается волновой функцией, но

это еще не говорит о том, какими значениями физических величин

система характеризуется. До измерения такой информации не суще-

существует. Результат же измерения не всегда однозначен. Обнаружение

на опыте того или иного значения физической величины в некоторых

случаях является случайным событием. Тогда и говорят, что вели-

величина не имеет определенного значения. Однако можно теорети-

теоретически заранее рассчитать вероятность или частоту появления данного

значения при многократных измерениях, располагая функцией

состояния. Она определяется постулатом: вероятность того, что при

измерении получится значение щ физической величины А, равна

квадрату модуля соответствующего коэффициента Фурье в разложе-

разложении волновой функции в ряд или интеграл Фурье по собственным

функциям оператора этой физической величины.

Пусть \|) — волновая функция частицы. Чтобы рассчитать иско-

искомые вероятности, представим ее в виде ряда

где ср, — собственные функции оператора А, имеющего дискретный

спектр. Тогда вероятность получения а, есть

S,Vx|2. (8.5)

В случае непрерывного спектра волновая функция разлагается

в интеграл Фурье. Если ф (a, jc) — собственная функция, то

■ф (х)=\ С (а) ф (a, x)da.

Поскольку теперь имеется непрерывное множество значений

величины А, то в строгом смысле слова нельзя говорить о вероят-

вероятностях отдельных значений. Речь идет только об элементарной

вероятности dW (а) попадания значения величины в интервал от а

до a-\-da. По формуле теории вероятностей имеем

dW(a)=w(a)da.

Здесь плотность вероятности, или дифференциальная функция

распределения вероятностей w(a), равна квадрату модуля коэф-

коэффициента С (а):

w (а)=С* (а) С (а)= \\ Ф* (а, jc) г|> (х) dx\2.

Нетрудно заметить, что определенного значения у величины

нет, если функция состояния не является собственной для опера-

оператора этой величины. Особый случай возникает, если волновая

функция совпадает с какой-нибудь собственной функцией оператора.

Пусть Лф, = а,ф,. Если г|> (х)=ф, (х), то С,-= 1, а все Скф[=0. Тогда при

измерении получается только одно значение а*. Следовательно,

83частица находится в состоянии с определенным значением вели-

величины А.

Иногда уже по виду волновой функции можно указать значение

некоторой величины в данном состоянии. Так, волновая функция

свободного движения е'кх совпадает с собственной функцией опера-

оператора рх, если к=^г (см. выражение (8.2)). Поэтому она описывает

состояние с заданным импульсом.

Пример 8.5. Нахождение вероятности значения величины в дискретном

спектре.

Задано состояние частицы в потенциальной яме следующей волновой функцией:

Коэффициенты разложения по ортонормированным функциям q>,=~V — sin ^-,

— — * а а

п / «

»'= 1, 2, 3,..., есть С,= у "о" ■ Сг= V "Т • Поэтому вероятность обнаружения значе-

_ пЧ2 2 4я2Й2 1

ния энергии частицы Е]=7: у составляет -т-, а значения Ег = -= т составляет -=-

zma л 2та 3

(см. формулу E.8)).

Пример 8.6. Нахождение вероятности значения величины в ненрерывном

снектре.

Если функция состояния у/р не совпадает ни с одной собственной функцией

оператора рх, то в данном состоянии импульс не имеет определенного значения.

Запишем разложение волновой функции в интеграл Фурье по собственным

функциям оператора рх:

$ e"r(P'JC~E'V- (8.6)

Таким образом, произвольное состояние одномерного движения представляется

в виде линейной комбинации состояний с определенными значениями импульса.

При измерении действие прибора на частицу выделит одну компоненту из супер-

суперпозиции состояний (8.6). Какую именно, заранее указать нельзя. Взаимодействие

с измерительным прибором описывается только статистически. Коэффициент С (рД

с которым состояние с импульсом рх входит в интеграл (8.6), рассматривается

в качестве меры потенциальных возможностей для частицы проявить себя как

объект с импульсом рх.

Пример 8.7. Вероятность значения координаты микрочастицы.

Под общее правило нахождения вероятностей отдельных значений физических

величин подпадает и определение вероятности для положения частицы. Собствен-

Собственные функции оператора х были найдены ранее, в § 8, п. 2. Если

$(x')=\c(x)b(x-x')dx,

то.

с (*)=}*>(*') а (*-*') же'=*>(*).

Тогда плотность вероятности для координаты х равна: |С(х)|2= |ф (х)|2, что совпа-

совпадает с определением плотности вероятности B.2).

8.5. Вычисление средних значений физических величин. В слу-

случае, когда величина определенного значения не имеет, определяют

84среднее значение достаточно большого числа измерений:

л

_ 2 а*

Для вычисления среднего значения физической величины на ос-

основе теории достаточно знать функцию состояния частицы. (Пред-

(Предполагается, что вид оператора этой величины известен.) Если

а, — собственные значения оператора А и №, — вероятности их об-

обнаружения, то по теореме о среднем из теории вероятностей

а=2 Wtii.

i

(Для простоты рассматриваем случай дискретного спектра.)

Используя формулу для расчета вероятностей (8.5), получаем

где г|) — волновая функция частицы, а ср, — собственные функции

оператора А. Согласно G.5)

А ф, = а,ф„

поэтому _

а=2 С, \ г|>* (а,-ф,-) dx = I> Q \ г|>* (Лф,) dx.

i i

Учитывая линейность оператора А и равенство г|) = 2 С,ф„

получаем <

2 С,- \ ф* (Лф() dx=\ ф* (А 2 С, ф,) dx=\

Итак,

dx. (8.7)

Вычисление средних имеет важное значение при изучении микро-

микромира. Когда в рассматриваемом состоянии физическая величина

не имеет определенного значения, среднее значение в какой-то мере

характеризует состояние.

Понятно, что если г|) = ф,, то

а=\ Ф* (х) Лг|> (х) dx = а,- \ ф*ф,- dx = щ.

В заключение вопроса заметим следующее. В стационарном

состоянии

Если оператор физической величины не содержит времени, то

его собственные функции и собственные значения также не зависят

от времени. Поэтому в стационарных состояниях распределение ве-

85роятностей для значений рассматриваемой величины также оказы-

оказывается стационарным, независящим от времени. Постоянно и сред-

среднее значение. Для доказательства достаточно подставить в выраже-

выражения (8.5) и (8.7) волновую функцию стационарного состояния и

учесть, что временные множители за счет комплексного сопряжения

при умножении дают единицу.

Пример 8.8. Вычисление среднего значения величины.

Найдем среднее значение координаты, энергии и импульса для частицы в по-

потенциальной яме. Используя функцию состояния E.7), соответствующие операто-

операторы и формулу (8.7), имеем

2 ппх\2. а

— sin 1 xdx = —

а а / 2

- f /Т ппх (П2 d2 [7. лпх \ J n2h2n2

Е=\~\ — sin 1 —к т-гЛ — Sln) dx = -z—j-.

J V a a V 2m dx2 \ a a) 2ma2

- f _./T. nnxf rf^/T. nnx\,

p = \ у— sin 1 —ih-r-y— sin I dx =

JVa a \ dx V a a /

= 0.

Истолкование результатов очевидно: по графикам плотности вероятности

(см. рис. 5.2) усматривается нх симметрия относительно средней точки ямы, что

и приводит к найденному среднему значению координаты. Энергия имеет опреде-

определенное значение, а импульс с равной вероятностью направлен н вправо, н влево.

Пример 8.9. Обоснование выбора операторов координаты и импульса с по-

помощью формулы среднего значения.

Выбор исходных операторов х и р,, определенный аксиомами (§ 8, п. 2), не

является случайным. Он согласован со статистической трактовкой функции сос-

состояния. В самом деле, выражение для среднего значения координаты

х=\ w (x)xdx

можно записать в форме (8.7):

откуда и вытекает, что х=х.

Для получения оператора импульса разложим произвольную функцию состоя-

состояния по плоским волнам (фиксируя момент времени):

коэффициенты разложения обозначены через ф (р, t). В соответствии с постулатом

§ 8, п. 4 величина ф*ф выражает плотность вероятности значений импульса в состоя

нии у (х, t), поэтому можно найти среднее значение импульса:

p=\<p*(p)<p(p)pdp. (8.7а)

Так как параметры ф (р) являются коэффициентами разложения функции \(> $

в интеграл Фурье, то они вычисляются по формуле

dx. (8.76)

Подставляя значения ф(р) нз соотношения (8.76) в формулу (8.7а), после

вычислений приходим к равенству

р = \ Ф* (р) рф (р) dp = \ i|>* (х) (-Ш ^) Ч> W dx,

86откуда и следует, что оператор импульса (проекция на ось Ох) выражается формулой

p,= -fcl. (8.8)

Таким образом, трактовка волновой функции, гипотеза де Бройля, принцип

соответствия между классической н квантовой механикой определяют виды опера-

операторов в математическом формализме теории.

8.6. Коммутация операторов — условие существования опреде-

определенных значений двух физических величин в одном и том же состоя-

состоянии системы. Пусть заданы операторы двух физических величин

А и В. Достаточным условием для существования определенных зна-

значений их является наличие общей собственной функции, совпадаю-

совпадающей с функцией состояния системы:

Лг|) = аг|), (8.9)

Вг|) = Н- (8.10)

Выясним связь между операторами в этом случае. Действуя на обе

части равенства (8.9) оператором В, а на (8.10) —оператором А,

получим

Отсюда следует, что АВ = ВА, т. е. операторы коммутируют.

Коммутирующие операторы имеют общие собственные функции

(см. § 7, п. 3), т. е. условие коммутации двух операторов также и

необходимо для существования определенных значений соответ-

соответствующих величин.

Итак, если операторы коммутируют, то возможно существование

одновременно измеримых точных значений соответствующих ве-

величин.

Пример 8.10. Коммутация оператора импульса и кинетической энергии.

Выполнением действий убеждаемся, что

рТ=Тр,

откуда следует совместная измеримость этих двух величин. Так, в свободном состоя-

состоянии у микрочастицы определенные значения имеют импульс и энергия.

Пример 8.11. Вычисление коммутатора для координаты и импульса.

Коммутатор

Поэтому

/ д<р д

Отсюда видно, что

[х, px] = ih,

операторы х и рх не коммутируют. Значит, не существует состояний, в которых

были бы вместе точно заданы координата х и проекция импульса рх. (Это положение

отражено также в соотношениях неопределенностей.)

Свойство коммутативности не является транзитивным. Если А

коммутирует с В и С, то это не значит, что В и С коммутируют между

собой. Поэтому несколько величин могут вместе иметь определенные

87значения, если только операторы этих величин попарно коммути-

коммутируют.

Пример 8.12. Измерение трех величии.

Из операторов р, Г, Н коммутируют между собой только р и Т. Для других

пар коммутаторы не равны нулю. Поэтому состояний с определенными значениями

импульса, кинетической энергии и полной энергии не существует, за исключением

случая свободной частицы, когда Я = Г.

В квантовой теории используется понятие полного набора физи-

физических величин, которые для данной системы могут иметь одновре-

одновременно определенные значения. Например, для свободного движения

одной частицы — это импульс и энергия. Задание полного набора

однозначно определяет волновую функцию системы. Это можно по-

понять из следующих рассуждений. Волновая функция есть решение

уравнения Шредингера. Последнее же представляет собой не одну,

а целое семейство функций. Выбор из них делается с помощью

заданного набора величин.

В полный набор не могут входить все величины, характеризую-

характеризующие состояния соответствующих классических систем. Существуют,

например, состояния с заданными моментами импульса и полной

энергией. Однако в таких состояниях нельзя указать точные зна-

значения для координат частицы, ее потенциальной энергии. Поэтому

говорят, что полный набор охватывает не более половины тех па-

параметров, которыми характеризуются состояния классических сис-

систем. Следует учесть, однако, что в квантовой физике имеются и

такие величины, как, например, спин и четность, которые вообще

не имеют аналогов в классической физике.

8.7. О связи математического аппарата квантовой механики с опытом и клас-

классической механикой. Аксиоматическое определение связи операторов с измеряемы-

измеряемыми значениями физических величин, постулирование вида самих операторов и основ-

основного уравнения квантовой механяки, выполненные выше, в § 7 и 8, могут привести

к представлениям о каком-то произволе в этой теории, отрыве ее исходных поло-

положений от эксперимента. На самом деле это не так: в квантовой механике отталки-

отталкиваются от экспериментальных фактов, как и в других разделах физики, хотя связь

между измерением и символом физической величины здесь не такая непосредствен-

непосредственная, как в классической физике.

Обсудим математическую природу физических величин несколько подробнее.

Физическая величина есть количественная характеристика свойств физического

объекта. В простейшем случае физические свойства исчерпываются положитель-

положительными действительными числами. Таковы, например, масса, длина, объем тела. Вели-

Величины: температура, теплота, смещение по траектории и др.— принимают положи-

положительные и отрицательные значения. Имеются также величины (ускорение, скорость,

сила и др.) — векторные, и для каждого значения такой величины нужно полу-

получить при измерении три числа.

Сказанное позволяет заключить, что различные свойства физических объектов

отображаются различными математическими средствами. При этом известных нам

средств, используемых в макромире — чисел, векторов, тензоров,— для описания

микромира оказывается недостаточно, и на сцену выходят операторы, сопоставляе-

сопоставляемые физическим величинам. Ранее говорилось, что любое измерение в микромире

производится макроскопическим прибором (см. § 4, п. 4) и приводит, как и в макро-

макромире, к некоторому действительному числу. Числа, полученные при измерениях,

становятся конкретными значениями скалярных величин, проекциями векторов,

собственными значениями операторов с помощью тех или иных формул.

Но не всякая величина, характеризующая микрочастицы, выражается опера-тором. Записывая сами операторы, мы используем некоторые значения физических

величин, играющих роль параметров в решаемых задачах. Таковы масса, заряд,

момент инерции частицы, физические постоянные — с,, h и др., входящие в

формулы операторов. Эти же параметры входят в уравнение Шредингера и вы-

вытекающие из него соотношения. Перечисленные сейчас величины находятся экспе-

экспериментально и имеют определенные значения.

Особо следует остановиться на координатах точки пространства и момента

времени, являющихся аргументами функции состояния. Квантовая механика поль-

пользуется общей с другими фундаментальными теориями моделью пространства —

времени: пространство непрерывно, однородно, изотропно, евклидово, время непре-

непрерывно и однородно (см. введение, ч. I, § 2). Система отсчета в квантовой теории

ннерциальна. Это означает, что, задавая функцию состояния микрочастицы, мы

исходим из точных значений координат х, у, z каждой точки пространства и момента

времени t (разумеется, в пределах достигнутой при измерениях точности). Иными

словами, координаты точки пространства н момента времени в теории (нерелятивист-

(нерелятивистской) имеют определенные значения.

Состояния с неопределенными значениями величин обусловлены квантовым

характером взаимодействия в микромире и отражены в соотношениях неопреде-

неопределенностей D.8), подтверждающихся экспериментально (§ 4, п. 4). Микрочастица

не имеет определенной координаты в смысле воспроизводимости ее значения при

повторении измерений, оказываясь каждый раз в разных точках пространства с

координатами х, у, г. То же для импульса. Особенность координат микрочастицы

и ее импульса как измеряемых илн рассчитываемых в теории величин и отражена

в том, что им сопоставлены операторы, а не непосредственно числа. Теория, следуя

за опытом, не позволяет до опыта приписать частице какие-то конкретные значения

координат н импульса.

При всей кажущейся произвольности выбора операторов х н рх в аксиоматике

(см. § 8) их вид тесно связан с вероятностно-статистической трактовкой ^-функции.

Если мы признаем, что координата микрочастицы принимает случайные значе-

значения, то положение частицы в пространстве определяется через плотность вероят-

вероятности:

dW

являющуюся функцией координат точки пространства и описывающую механичес-

механическое состояние частицы: w (x, t) — различна в разных силовых полях, для разных

систем и т. д.

Исходная и важнейшая аксиома квантовой механики состоит в том, что силовое

поле, или взаимодействие между частицами, определяет не функцию w (x, у, z, t),

а другую — \fi (x, у, z, t), причем о) = ф*\(>. Экспериментальное основание аксиомы

дают опыты по дифракции микрочастиц: дифракционная картина соответствует

интерференции волн, а распределение интенсивности пропорционально квадрату их

амплитуды, т. е. величине о)=|\(>|2. С этим обстоятельством (состояние задается

не плотностью вероятности, а ф-функцией) связаны многие принципиальные осо-

особенности квантовой механики.

Статистическое толкование волновой функции в значительной мере предопределя-

предопределяет выбор оператора координаты. Если предположить, что поле (8.2) описывает

состояния с определенным импульсом, то далее из тех же соображений находится

и оператор импульса.

Очень важно для понимания многих вопросов усвоить, что благодаря соотношению

неопределенностей импульс не определяется, как это было в макроскопической,

физике, через производную от координаты, т. е. через скорость. Формула рх = т'х не

имеет места, потому что нет кинематического уравнения движения: x = f(t). Отсюда

следует, что измерение импульса в микромире не может производиться через из-

измерение скорости, а должно выполняться другими, независимыми от измерения

координаты способами, например через связь импульса с энергией, с помощью за-

закона сохранения импульса и т. д. (Что касается координаты точки пространства,

то ее измерение в микромире не пересматривается.)

Сказанное выше о координате и импульсе позволяет сделать вывод об особой

89роли координат и импульса как независимых переменных при описании состояний

микрочастиц. В нашем курсе функции состояний задаются в обычном пространстве

с координатами х, у, г. Однако возможно их определение и в пространстве импульсов

с координатами рх, р,,, рг (см. приложение III).

Выбор вида операторов других величин производится с помощью принципа

соответствия. Предполагается, что в некотором предельном случае законы кванто-

квантовой механики допускают переход к законам классической механики. Сами класси-

классические величины, такие, как энергия н момент импульса, есть не что иное, как

средние значения соответствующих квантово-механическнх величин. Принцип соот-

соответствия требует того, чтобы связи между средними значениями квантово-механи-

ческих величин совпадали с известными классическими соотношениями. Отсюда сле-

следует, что формулы, связывающие операторы соответствующих величин, повторяют

классические формулы (об этом подробнее говорится в § 9).

Таким образом, все величины, которые выражаются в классике через координаты

и импульсы, оказываются операторами, причем внд нх легко устанавливается (см.

§8, п. 2).

В нашем курсе особняком стоит одна величина — спнн микрочастицы. Он не

связан с функцией состояния, не входит в уравнение Шредингера (до § 13, п. 3). По-

Поэтому спнн мы должны рассматривать как параметр микрочастицы, подобный ее

массе и заряду. В более полной релятивистской теории спнн определяется по функ-

функции состояния действием на нее оператора спнна (см. § 13, пп. 3 н 4). Ситуация со

спнном позволяет понять, что существуют величины, которые в нерелятнвистской

теории выступают как параметры, а в релятивистской являются операторами, ие

содержащими координат и импульсов. К ннм, например, относится оператор электри-

электрического заряда, других зарядов. Но этн операторы выходят за рамки данного пособия.

Классическая механика есть предельный случай квантовой механики (см. § 9,

п. 2). В то же время, учитывая роль классической физики прн введении исходных

положений квантовой механики, можно заключить, что обе теории имеют особую связь

друг с другом. Обратим внимание на to, что все измерения производятся макроско-

макроскопическими приборами, далее, существен принцип соответствия прн определении

вида силовых полей (операторы U (г)) н операторов ряда величин, таких, как Т,

L, Н.

Что касается основного уравнения квантовой механики — уравнения Шрединге-

Шредингера, то оно обладает большей общностью, нежели основные уравнения классической

механики — уравнения Ньютона, Лагранжа, Гамильтона. Однако есть связь урав-

уравнения Шредингера с классической физикой: во-первых, через историю открытия, а

во-вторых, переходом к классическим уравнениям (см. § 9).

8.8. К вопросу о размерностях в квантовой механике. Кратко

остановимся на вопросе о размерностях величин и операторов. Из-

Известно, что каждая физическая величина может быть выражена

классическими формулами через другие величины. Связь величины с

основными величинами — длиной, массой, временем — выражают

формулы размерности.

Но оператор обозначает действие на функцию, а не непосред-

непосредственно на величину; поэтому неочевидно, какое отношение к нему

имеет размерность. Однако если вспомнить уравнение G.5) для

собственных значений и собственных функций оператора, то из него

видно, что размерность оператора должна совпадать с размерностью

его собственных значений.

Так, например, для оператора импульса имеем

90В самом деле, используя явный вид оператора:

и вспоминая, что постоянная h имеет размерность энергии, умно-

умноженной на время, убеждаемся в справедливости сказанного.

Совпадают размерности правой и левой частей уравнения Шре-

дингера:

если учесть, что оператор Н имеет размерность энергии. Что же каса-

касается размерности функции состояния, то она видна из исходного

определения вероятности B.1):

dW=\q\2dV.

Так как вероятность — величина безразмерная, то размерность

г|)-функции — обратная величина корня квадратного из объема:

fo] = /."*.

Например, в одномерном случае потенциальной ямы размерность

найденной ранее функции состояний E.7) определялась нормировоч-

14 —L

ным коэффициентом: С= у —, [*ф] = Z- 2

Такая же размерность у функций состояния квантового осцилля-

осциллятора (см. формулу F.17)). В случае свободной частицы функция

состояния C.22) имеет неопределенный коэффициент С, которому

3

следует приписать размерность: [C[ = L 2.

Как правило, размерность ^-функции и определяется ее нормиро-

нормировочным множителем; без него г|)-функция в процессе решения урав-

уравнения Шредингера часто оказывается безразмерной. Постоянный ее

сомножитель определяется условием нормировки B.5):

\

Из этого же условия получается указанная выше размерность: