Методические указания и рекомендации

I. Простейшие задачи, рассмотренные в главе, раскрывают кван-

тово-механический подход к описанию движения и взаимодействия,

не отягощенный еще применением абстрактного математического

аппарата, дают материал для пояснения ниже сущности этого ап-

аппарата, приводят к очень общим и характерным закономерностям

микромира. То, что эти задачи можно решить, не применяя понятия об

операторе, операторной форме уравнения Шредингера, всей совокуп-

совокупности необходимых в других случаях сведений по гильбертову

пространству и операторному исчислению, на наш взгляд, сущест-

существенно в методическом отношении для выявления главных этапов

и итогов решения.

В то же время подбор задач определяется типичностью описы-

описываемых в них ситуаций. В этом отношении обязательно нужна задача

на прохождение потенциального барьера, хотя она довольно гро-

громоздка в выкладке. (Лектор может перенести вычисления на практи-

практические занятия.)

На практических занятиях нужно рассмотреть задачу о трехмерной яме, так как результаты ее решения используются далее в курсе статистической физики.

Задача об осцилляторе имеет фундаментальное для квантовой физики значение и анализируется подробно как на лекциях, так и на практических занятиях.

II. При изучении материала студентам рекомендуется ответить на

следующие вопросы:

— В какой связи находится непрерывность волновой функции с

определением вектора плотности потока вероятности? Как объяснить

попадание микрочастиц в запрещенные законом сохранения энергии

для их движения области пространства? Назовите явления, которые

объясняются туннельным эффектом. Перечислите микросистемы, по-

поведение которых можно моделировать квантовым осциллятором.

Сделайте общие выводы о характерных особенностях движения в си-

силовых полях в микромире на основе решенных в главе задач. Вы-

Выполните упражнения к главе.

Упражнение II

1. Пользуясь результатами задачи об одномерной прямоугольной

потенциальной яме (см. § 5, п. 2), решите задачу о трехмерной по-

потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.

Решение.

67Потенциальная энергия задана условием:

U(x,y,z) = 0,

Уравнение Шредингера для частицы внутри ямы имеет вид

^ A)

Волновая функция обращается в нуль на краю ямы.

Уравнение A) допускает разделение переменных. После под-

подстановки

Мр(х,у, z) = q>, (ж)ф2 (у)фз (z)

получаем три однотипных уравнения

причем

и выполняются граничные условия:

/ г\\ ___ //-»\ а (г\\ _ /а\ а (г\\ /

Используя формулы E.7), E.8) и E.9), получаем

, -in ""'* -in пП2У -.in "Z

Состояние частицы задается тройкой квантовых чисел п\, п2 и п3,

пробегающих независимо друг от друга значения 1, 2, 3,...

В кубической яме а = Ь = с. В этом случае уровни энергии вы-

вырождены, т. е. одному значению энергии соответствует несколько

квантовых состояний.

2. С помощью формулы E.23) оцените вероятность прохождения

электроном прямоугольного потенциального барьера высотой 10 эВ

при энергии частицы 5 эВ, если ширина барьера равна Ы0~'° м,

2-10~'° м, 5-10~'° м. Константу Ро принять равной 1.

Ответ. Я = 0,1; 0,008; 5,5-10.

3. С помощью формулы E.24) выведите закон Гейгера — Нэт-

тола, связывающий период полураспада с энергией а-частицы:

ln T=A+B/√E.

Решение.

Предположим, что внутри ядра а-частица движется свободно.

Чтобы выйти из ядра, ей нужно преодолеть потенциальный барьер,

образованный силами кулоновского отталкивания (см. рис. 5.4).

При г>Гй

где Z — заряд ядра. Для коэффициента прохождения через барьер

имеем формулу

В ней Ра — постоянная, зависящая от свойств ядра; точка R опре-

определяется из условия U (R) = 0; нижний предел интегрирования по-

полагаем равным го.

Период полураспада обратно пропорционален вероятности вылета

а-частицы за единицу времени, которая в свою очередь пропорцио-

пропорциональна коэффициенту прохождения Р. Поэтому Т = c0"s и

In r = const-ln P =

После подстановки г'=2^-имеем

it i. i

In 7=constH

2W2m

где

B)

Так как энергия а-частицы значительно ниже пика барьера, то

нижний предел в формуле B) можно принять равным нулю.

4. Запишите выражения для волновой функции гармонического

осциллятора при п = 0, 1, 2.

Ответ.

Xo

695. С помощью формулы (6.14) вычислите коэффициенты полино-

полиномов Чебышева — Эрмита #з и Н*.

6. Запишите выражения плотности вероятности для координаты

х в случае гармонического осциллятора, находящегося в квантовых

состояниях при п = 0, 1,2. (Данные возьмите из задачи 4.)

Сравните результаты с плотностью вероятности для классичес-

классического осциллятора.

Указание. Вероятность обнаружения классической матери-

материальной точки на отрезке dx пропорциональна времени нахождения

частицы на этом отрезке. Так как

то

dW= const

У£ —{/

7. Колебательные подуровни молекулы водорода расположены на

расстоянии 0,545 эВ друг от друга. Вычислите энергию нулевых ко-

колебаний и частоту колебаний.

Указание. Ознакомьтесь с материалом § 19, п. 5.