Линейные операторы. Оператор есть символ для обозначения действия или программы действий, которые нужно совершить над некоторой функцией

Оператор есть символ для обозначения действия или программы действий, которые нужно совершить над некоторой функцией, чтобы получить другую функцию. Операторы

обозначаются большими латинскими буквами со «шляпкой» наверху, например А, В,... Если оператор стоит рядом с функцией и слева от нее, то это означает, что он действует на функцию (говорят, применяется к функции или умножается на функцию). В результате

получается новая функция тех же переменных:

A i|) = cp.

(Функции <|)Иф должны относиться к одному классу функций; невозможен, например, переход от функции действительного переменного к функциям комплексного.)

Программа действий, заключенная в операторе, может быть выражена математическими символами или словами. Укажем примеры:

1) А =х — оператор умножения на переменную х\

2) В=— оператор дифференцирования по х;

3) С = {перейти к комплексно-сопряженному выражению) —оператор комплексного сопряжения.

Результаты действий названных операторов выражаются равенствами

1) ЛФ = хФ; 2) %=|J; 3) Сервер*.

Оператор называется линейным, если для него выполняется условие

Г(С,ф, + С2ф2)=С,Гф,+С2Гф2, G.4)

где ф| и ф2 — некоторые функции, а С\ и С2 — постоянные (комплексные) числа. (Число слагаемых С*ф* неограничено.) Например, операторы дифференцирования и операторы умножения на переменную величину линейны, оператор же возведения в степень не является линейным.

Согласно условию G.4) постоянные множители можно выносить за знак линейного оператора (и вносить под него), а действие такого

оператора дистрибутивно по отношению к сложению функций. Далее

используются только линейные операторы.

Символы операторов рассматриваются как самостоятельные математические объекты, над которыми можно производить ряд математических действий: сложение, умножение, возведение в степень, разложение в степенной ряд. Л

Определим сумму и произведение операторов. Оператор С называется суммой операторов Л и В, если выполняется равенство

Из определения следуют формулы

С=А

Сложение ассоциативно и коммутативно:

Оператор С называется произведением операторов Л и В, если

справедливо равенство

Сф = Л (Вф).

Скобки указывают порядок действий. Произведение операторов

обозначается так же, как и произведение чисел:

С=АВ.

Операция умножения в общем случае некоммутативна: АВфВА.

Операторы, для которых АВ = ВА, называются коммутирующими.

Оператор АВ — ВА называется коммутатором операторов Л и В. Он

обозначается символом [А, В]:

[А,В]=АВ — ВА.

Для коммутирующих операторов [А, В] = 0.

Пример 7.1. Произведение операторов.

Если А—х и В=—, то АВ = х—, причем AB<tip = A (Bi|))=jc— i)j.

В то же время ВА=—- х> поэтому

Отсюда заключаем, что АВфВА.

Пример 7.2. Коммутирующие операторы.

Если А =х и B = -fy, то [А, В]Ф = *|?-^ (*<р) = 0.

Операторы перестановочны, т. е. коммутируют.

74