Стационарные состояния

Стационарное состояние частицы описывается волновой функцией ви­да (19.26). Подставим эту функцию в уравнение Шредингера (19.29) и найдем таким образом уравнение для функции . Частная производ­ная от функции

по времени t будет

Подстановка этой функции и ее производной в (19.29) приводит к урав­нению

(19.42)

где E = ћω.

Уравнение (19.42) называют уравнением Шредингера для стационарных состояний, или просто стационарным уравнением Шре­дингера. Уравнение (19.42) есть уравнение для собственных функций оператора полной энергии. Поэтому энергия частицы, состояние ко­торой описывается волновой функцией φ, являющейся решением этого уравнения, будет в точности равна соответствующему собственному зна­чению Е гамильтониана Н Н.

С учетом формулы (19.24) уравнение (19.42) можно записать более подробно следующим образом:

(19.43)

Уравнения (19.42) и (19.43) имеют решения не для любых значений энергии Е. Все собственные значения оператора Н полной энергии, для которых эти уравнения имеют решение, образуют так называемый энергетический спектр, или спектр возможных значений энергии ча­стицы. В некоторых случаях эти значения обра­зуют счетное множество, т.е. их можно перенумеровать. Пусть п - номер произвольного соб­ственного значения энергии. При этом энергию частицы можно рассматривать как функцию от номера п: Е_п = Е(п). Такой спектр энергий на­зывается дискретным. Каждое значение энергии дискретного спектра можно отметить на числовой оси Е посредством отрезка прямой линии, кото­рый называют уровнем энергии (рис. 19.2). Среди возможных значений энергии частицы всегда есть наименьшее. Волновая функция, соответствую­щая наименьшему значению энергии, описывает так называемое основное состояние частицы.

Иногда различным состояниям частицы соответствует одно и то же значение энергии Е. Такие состояния называют вырожденными. Число g различных стационарных состояний частицы с одной и той же энер­гией Е называют кратностью вырождения данного значения (уровня) энергии

Рис. 19.2. Уровни энергии