Основные аксиомы квантовой механики

Первая основная аксиома квантовой механики состоит из двух утверждений:

а) каждой физической величине классической механики в квантовой механике сопоставляется линейный самосопряженный оператор;

б) соотношения между физическими величинами классической механики однозначно переходят в квантовой механике в такие же соотношения между изображающими 'их операторами, если в эти соотношения не входят произведения физических величин, операторы которых не коммутируют

Первая часть (а) основной аксиомы квантовой механики необратима, так как существуют такие линейные самосопряженные операторы, которые изображают чисто квантовые физические величины и которым в классической механике прямо не может быть сопоставлена ни одна физическая величина (например, оператор собственного магнитного момента электрона μ₈). Однако этим чисто квантовым физическим величинам иногда соответствуют определенные классические аналоги. Так, например, классическим аналогом оператора собственного магнитного момента электрона μ_s будет орбитальный магнитный момент μ_l заряженной точечной частицы. Тогда вторая часть (б) аксиомы в применении к операторам чисто квантовых физических величин, обладающих классическими аналогами, может быть переформулирована следующим образом:

б') операторы чисто квантовых физических величин удовлетворяют тем же соотношениям, что и их классические аналоги и операторы этих аналогов.

Если при сколь угодно многократном изменении некоторой физической величины L, производимом над атомной системой, описываемой волновой функцией ψ, всегда получается одно и тоже число λ, то это число собственное значение оператора L, изображающего эту физическую величину, а ψ-собственная ф-цыя оператора L.

Оператор импульса. Найдем р — оператор импульса частицы. Пусть р_х — x -компонента импульса. Для нахождения оператора р_х в представлении координат х, у, z можно использовать вторую основную аксиому. Должно быть p_xψ = p_x ψ, если ψ—собственная функция оператора, Рх; Рх — собственное значение оператора р_х.

Пусть ψ — волна де Бройля, распространяющаяся вдоль оси х и равная

ψ=ψ₀exp((-i/Ћ)(Et-p_xx))

По определению, она является волновой функцией, описывающей свободную частицу, обладающую определенным импульсом р_х. Тогда согласно второй основной аксиоме квантовой механики эту функцию можно считать собственной функцией оператора р_х, отвечающей его собственному значению р_х, и написать:

где у = i (д/дх) + j(д/ду) + k(d/dz); i, j, k - орты.

Операторы энергии. Для нахождения оператора кинетической энергии воспользуемся вторым утверждением первой аксиомы.

и является уравнением для собственных функций и соб­ственных значений оператора полной энергии — опера­тора Гамильтона. Если ча­стица находится в любом стационарном состоянии, т. е. в состоянии с определенным значением энергии, то коор­динатная часть ее волновой функции будет собственной функцией оператора полной энергии.