Уравнение Клейна-Фока и уравнение Дирака

Основное требование, предъявляемое ко всякому за­кону релятивистской физики,— соответствие его частно­му принципу относительности, согласно которому все за­коны физики одинаковы во всех инерциальных системах координат. В аналитической форме он гласит: при пере­ходе от одной инерциальной системы координат к другой, при KOTорoM координаты преобразуются по преобразова­нию Лоренца, величины, входящие в уравнение, выра­жающее какой-то закон физики, должны преобразовы­ваться таким образом, чтобы соотношение между ними в новой инерциальной системе координат выражалось уравнением, совпадающим по форме с первоначальным. При этом решения указанных уравнений должны быть одинаковы.

Временное уравнение Шредингера, используемое в нерелятивистской квантовой механике, например ιh(∂ψ/∂t) = {(—h²/2m₀)∆+U(r)}\ψ, не удовлетворяет част­ному принципу относительности. Формально (внешне) это проявляется в том, что координаты и время (произ­водные по ним) входят в него неравноправно. Кроме то­го, оно верно лишь для скоростей частиц, малых по срав­нению со скоростью света. В релятивистское волновое уравнение координаты и время должны входить равно­правно. Для вывода этого уравнения используем первую основную аксиому квантовой механики. Из теории отно­сительности известно, что зависимость энергии от импуль­са и массы для свободной релятивистской частицы за­дается соотношением

используя понятие четырехмерного импульса

(ν — скорость частицы), p₄ = iE/c = m₀(dx/dt), x_t = ict, где ατ = dt \/ 1— v²/c² — дифференциал собственного вре­мени. Тогда

где Pk = P₁² + p₂² + Рз² + Р₄² (по повторяющимся индексам предполагается суммирование). Известно, что импульсу свободной частицы сопоставляется оператор р = — ihV при переходе от классической механики к квантовой. По­этому по аналогии для р₄ напишем р₄ = — ih(d/dx₄).

Уравнение (24.2) перейдет в операторное уравнение р_k² + + m₀²c² = 0. Применяя его к некоторой функции