Уравнение движения в форме Гейзенберга

Если система находится в зависящем от времени силовом поле, то средние значения физических величин в общем случае зависят от времени. Согласно постулату соответствия среднее значение физических величин определяется постулируемым соотношением

(1)

Изменение во времени среднего значения можно охарактеризовать производной по времени функции

. (2)

Производные волновой функции по времени можно получить из уравнения Шрёдингера

;

Перепишем (2) в виде:

Пользуясь условием эрмитовости оператора Гамильтона, преобразуем второй интеграл к виду:

и получим окончательно

. (3)

Таким образом, производная по времени среднего значения величины представлена как среднее значение, соответствующее по постулату соответствия некоторому эрмитовому оператору. Естественно этот оператор принять за определение производной по времени от соответствующего оператора

. (4)

Сравнивая (3) и (4) получим операторное уравнение

, (5)

которое носит название квантового уравнения движения в форме Гейзенберга. Второе слагаемое в (5) называют квантовыми скобками Пуассона по аналогии с классическими скобками Пуассона.