![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Стационарных невырожденных состояний
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
Точное аналитическое решение уравнения Шредингера удается получить для ограниченного числа одно- и двухчастичных систем. Для других случаев используются приближенные аналитические методы – теория возмущений и вариационный метод, которые позволяют найти уровни энергии и состояния системы. Возмущением называется малое слагаемое потенциальной энергии системы, дополнительное к исходному гамильтониану, для которого существует аналитическое решение. Теория возмущений стационарных невырожденных состояний
Возмущение
где
содержит невозмущенную часть
Для невозмущенного уравнения Шредингера
с дискретным невырожденным спектром предполагаются известными волновые функции
Возмущенные состояния
Требуется найти
Разложение по степеням e. Искомые величины разлагаем в ряды по степеням ε и, пользуясь ε << 1, ограничиваемся первыми тремя слагаемыми
Степень e называется порядком теории возмущений. Подставляем (6.4) в (6.3)
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях ε и получаем для нулевого порядка уравнение (6.1), для первого и второго порядков:
Искомые величины:
Разложение по невозмущенным состояниям. Искомые функции разлагаем по ортонормированному базису невозмущенных состояний
где знак «'» означает отсутствие в сумме слагаемого
Первый порядок теории возмущений. Подставляем (6.7) в (6.5)
учитываем (6.1)
получаем
Искомые величины:
Для получения уравнения с одной неизвестной проектируем (6.9) на орт
В результате получаем
Поправка первого порядка к энергии определяется диагональным матричным элементом оператора возмущения, т. е. равна среднему значению возмущения по невозмущенному состоянию. Аналогично проектируем (6.9) на орт
Обозначаем
находим коэффициент
Отсутствие вырождения
в первом порядке теории возмущений получаем волновую функцию возмущенного состояния
Требование малости поправки к невозмущенной функции
Свойства первого порядка теории возмущений: 1. Выражение (6.13) не содержит слагаемых с
2. Диагональный матричный элемент возмущения 3. Недиагональные матричные элементы 4. Чем ближе друг к другу уровни невозмущенной системы, тем сильнее изменяется волновая функция.
Второй порядок теории возмущений. Подставляем (6.7) и (6.8)
в (6.6)
Учитываем (6.1) и получаем
Искомые величины:
Для получения уравнения с одной неизвестной проектируем уравнение на орт
С учетом (6.11) получаем – поправка к энергии во втором порядке. Используя (6.12)
и
находим
– энергия возмущенного состояния до второго порядка, где
Аналогично проектируем уравнение (6.14)
на орт
Обозначая
Свойства второго порядка теории возмущений: 1. Из (6.15) для основного состояния
с учетом 2. Для двухуровневой системы с учетом
получаем
Энергия верхнего уровня увеличивается во втором порядке, энергия нижнего уровня уменьшается. Возмущение во втором порядке раздвигает уровни. 3. Чем ближе уровни энергии, тем сильнее реагирует система на возмущение. ПРИМЕР
На линейный осциллятор действует ангармоническое возмущение Из (6.11), (6.13), (6.15) и (3.39) получаем
Используем (3.34)
где
Учитываем ортонормированность (3.33)
получаем матричные элементы
В результате
Уровень основного состояния понижается.
Date: 2015-05-19; view: 639; Нарушение авторских прав |