Водородоподобный атом

В электронной оболочке водородоподобного атома находится один электрон, например , заряд ядра . Электрон имеет потенциальную энергию .

Рис. 5.1. Уровни атома водорода

Уравнение состояния. Учитывая центральную симметрию системы, для связанного состояния используем волновую функцию (5.9)

.

Из (5.10) получаем

.

Энергию выражаем через безразмерный параметр

, (5.21)

где

(5.22)

– боровский радиус атома водорода. Используем безразмерную переменную

, . (5.23)

Для получаем уравнение обобщенного гипергеометрического типа

. (5.24)

Существование нормы решения дает – радиальное квантовое число. Решение выражается через обобщенный полином Лагерра

, (5.25)

где . При N не целом решение выражается бесконечным рядом и при ведет себя как , поэтому норма волновой функции не существует.

Квантовые числа. Пространственная и угловая ограниченность движения приводят к дискретности спектра квантовых чисел, характеризующих состояние электрона. Эти числа соответствуют сохраняющимся величинам – энергии, моменту импульса и проекции момента импульса.

Радиальное квантовое число определяет степень полинома, входящего сомножителем в радиальную функцию, и число ее нулей.