Уравнение Шредингера в сферических координатах

Центральносимметричные и

Осесимметричные СТАЦИОНАРНЫЕ системы

Гамильтониан стационарной системы

. (5.1)

Центральная симметрия означает отсутствие в сферических координатах угловой зависимости

.

Осевая симметрия означает отсутствие в цилиндрических координатах угловой зависимости

.

Особенностью центрально- и осесимметричных систем является сохранение момента импульса.

Уравнение Шредингера в сферических координатах

Гамильтониан центрально-симметричной системы складывается из кинетических энергий радиального и углового движений и из потенциальной энергии. С учетом (5.1), (4.8) и (4.9) получаем

. (5.7)

Из (4.5) и (5.7) находим

, , .

Момент импульса и одна из его проекций сохраняются с течением времени и имеют определенные значения вместе с энергией. Состояние характеризуется собственными значениями операторов , т. е. числами Е, l, m.

Радиальный импульс. Из (4.9)

. (5.8)

Уравнение Шредингера получает вид

.

Решение ищем в виде

.

Подстановка в уравнение, умноженное на 2μ r ² и деленное слева на ψ, дает

.

Уравнение для аналогично уравнению (4.14) , поэтому и – сферическая функция. Уравнение для R дает

,

тогда

. (5.9)

Радиальное уравнение с учетом (5.8) получает вид

. (5.10)

Замена (5.4)

(5.11)

с учетом дает уравнение, аналогичное (3.1):

, (5.12)

где ; ;

(5.13)

– эффективная потенциальная энергия включает центробежную энергию отталкивания от оси вращения.

Конечность требует

. (5.14)

Условие ортонормированности (5.6) для дискретного спектра

, .

Для уравнения (5.12) и решения применимы краевые условия из раздела 3.2.