Туннельный эффект. Одномерное рассеяние

Одномерное рассеяние

Частица с энергией Е движется вдоль оси x и попадает в поле . Падающая волна рассеивается, возникает отраженная и проходящая волны.

Из уравнение Шредингера (3.2) при получаем

, .

Частные решения:

при падающая волна

(3.62)

и отраженная волна

; (3.63)

при проходящая волна

. (3.64)

Амплитуды r и t – комплексные.

Из (2.72) находим проекции плотности тока вероятности падающей, отраженной и проходящей волн

, , . (3.65)

Коэффициент отражения (reflection)

, (3.66)

тогда

. (3.67)

Коэффициент прохождения (transmission)

, (3.68)

тогда

. (3.69)

Условие унитарности. Из уравнения непрерывности тока вероятности (2.73) следует

. (3.70)

Подставляем (3.67) и (3.69) в (3.70) и получаем условие унитарности, от лат. unitas – «одно целое»:

(3.72)

– сумма вероятностей всех возможных процессов в системе, т. е. отражения и прохождения, равна единице.

Туннельный эффект

Прохождение барьера, недоступного для классической частицы, называется туннельным эффектом. Георгий Антонович Гамов в 1928 г. объяснил парадокс, связанный с α-распадом

.

Два протона и два нейтрона ядра урана объединяются и образуют α-частицу с энергией 4,18 МэВ. Задерживающий потенциал ядра урана составляет 8,57 МэВ. Тем не менее, ядро может распасться благодаря туннельному эффекту.

Частица с полной энергией Е в виде волны

распространяется вдоль оси x и встречает барьер при . Возникает отраженная волна

.

Внутри барьера, согласно квазиклассическому приближению (3.60), волна экспоненциально затухает

.

За барьером

.

Коэффициент прохождения барьера. Из (3.68) при находим

.

Соотношение следует из условия сшивания (3.11) при условии малости отраженной волны. Учитывая

, , ,

в квазиклассическом приближении с точностью до слабо меняющегося и близкого к единице предэкспоненциального множителя находим

. (3.73)

Для прямоугольного барьера шириной и высотой из (3.73) получаем

.

Проницаемость барьера существенна при , тогда ,

. (3.74)

Чем меньше масса частицы, тем более широкий и высокий барьер она преодолевает. Для макроскопического тела туннельный эффект не проявляется.

Объяснение туннельного эффекта основано на соотношении неопределенностей (2.37) . Если частица обнаруживается внутри барьера шириной l, то , тогда . Это дает дополнительную кинетическую энергию

.

Суммарная энергия

обеспечивает преодоление барьера шириной (3.74).