Статика

20. Параллельно оси цилиндра радиусом R на расстоянии R/2 от его центра просверлено отверстие. Радиус отверстия равен R/2. Цилиндр лежит на дощечке, которую медленно поднимают за один конец. Найдите предельный угол наклона дощечки, при котором цилиндр еще будет находиться в равновесии. Коэффициент трения цилиндра о дощечку равен 0,2.

132. Цилиндр массой m раскрутили и поместили между двумя закрепленными плоскостями, расположенными под углом 2a друг к другу. Зная, что коэффициент трения между цилиндром и плоскостями m, определите силы, с которыми цилиндр действует на плоскости.

144. Каким должен быть коэффициент трения стержня о пол для того, чтобы он мог стоять так, как показано на рисунке? Длина нити, удерживающей стержень, равна длине стержня.

168. Шестиугольный карандаш толкнули вдоль горизонтальной плоскости, как показано на рисунке. При каких значениях коэффициента трения между карандашом и плоскостью карандаш будет скользить по плоскости, не вращаясь?

221. На неподвижном круглом цилиндре радиусом R лежит доска, как показано на рисунке. Толщина доски h. При каком соотношении между h и R равновесие доски будет устойчивым? Трение между доской и цилиндром велико.

244. К двум точкам прикреплены цепочка длиной L и концы двух стрежней, сумма длин которых тоже равна L, а свободные концы шарнирно связаны. Чей центр тяжести находится ниже — цепочки или стержня?

252. На цилиндрический столб намотан канат. За один из концов каната тянут с силой F. Для того чтобы канат не скользил по столбу, когда на столб намотан только один виток каната, второй конец каната нужно удерживать с силой f. С какой силой нужно удерживать этот конец каната, если на столб намотано n витков? Как изменится сила f, если взять столб вдвое большего радиуса? (Сила f не зависит от толщины каната.)

358. Неоднородный стержень длиной l может стоять у вертикальной стены, образуя угол не менее 45° с полом. Коэффициент трения стержня о пол и о стену равен . На какой высоте находится центр тяжести стержня?

420. На кронштейне АСВОЕ из 6 невесомых жестких стержней одинаковой длины, соединенных шарнирно, в точке С подвешен груз массой m. Растянут или сжат стержень АВ? Найдите силу упругости в этом стержне.

431. В дифференциальном вороте, схематически изображенном на рисунке, используется цепь, каждый метр которой содержит N звеньев. Шкивы верхнего блока снабжены зубцами, которые продеваются в звенья цепи, причем шкив большего диаметра имеет n зубцов, а шкив меньшего диаметра n-1. Трение в системе таково, что силы, необходимые для подъема или опускания груза, отличаются в k раз. Предполагая, что трение от направления движения не зависит, найдите эти силы.

437. Проволочная рамка, имеющая форму прямоугольного треугольника с углом a = 30°, помещена в вертикальной плоскости так, как показано на рисунке. По проволоке могут без трения скользить связанные друг с другом нитью два грузика массами m₁ = 0,1 кг и m₂ = 0,3 кг. Чему равно натяжение нити и угол b в положении равновесия грузиков? Является ли это равновесие устойчивым?

438. Однородная палочка лежит внутри шероховатой сферической полости. Длина палочки равна радиусу сферы. Коэффициент трения m. Какой наибольший угол с горизонтом может составлять палочка?

468. Действующая модель подъемного крана способна поднять 10 бетонных плит без обрыва троса. Сколько плит поднимает реальный кран, изготовленный из тех же материалов, если линейные размеры крана, троса и плит в 12 раз больше, чем в модели?

532. Маятник представляет собой легкий стержень длиной l с грузом массой М на конце. К другому концу стержня прикреплена легкая цилиндрическая втулка а с внутренним радиусом r, надетая на вращающуюся горизонтальную ось b. Коэффициент трения между втулкой и осью m. Определите угол отклонения стержня от вертикали в состоянии равновесия.

492. На шероховатой плоскости лежат два круглых цилиндра диаметрами D и d. Вокруг большого цилиндра обмотан шнур, к концу которого приложена горизонтальная сила F. Определить, при каком, одинаковом для всех соприкасающихся поверхностей, коэффициенте трения большой цилиндр может быть перетащен через малый. Каким должно быть абсолютное значение силы F для того, чтобы это можно было сделать? Массы цилиндров М и m соответственно.

611. Акробат, находясь на боковой поверхности цилиндра, лежащего на очень шероховатом полу, перебирает ногами и движется с постоянной скоростью вправо. Считая коэффициент трения ботинок акробата о поверхность цилиндра равным m, определите предельный угол, который может составить с вертикалью радиус цилиндра, проведенный в точку, где находится акробат. Чему будет равна при этом сила трения ботинок акробата о цилиндр?

620. Если в центр квадратного стола поставить предмет массой, большей m₀, ножки стола сломаются. Найдите множество точек стола, куда можно поставить предмет массой m₀/2, не боясь поломки стола.

634. Стержень АВ длиной l и массой m нижним концом опирается на стену и с помощью нити удерживается в наклонном положении. Нить привязана к стене в точке С, а к стрежню — в точке D такой, что AD = АВ/3. Углы, составляемые нитью и стержнем со стеной, равны a и b соответственно. Найдите возможные значения коэффициента трения между стержнем и стеной.

779. Квадрат, состоящий из двух половинок, отношение масс которых равно двум, находится на шероховатой поверхности. Под каким углом к границе раздела половинок необходимо тянуть веревку в горизонтальной плоскости, чтобы квадрат двигался поступательно? Точка приложения силы лежит в точке пересечения стороны квадрата и границы раздела.

813. Три невесомых шарнирно связанных стержня длиной а закреплены шарнирно в точках A и В, лежащих на одной горизонтали; АВ = 2а. К шарниру C подвесили груз массой m. При какой минимальной силе, приложенной к шарниру D, средний стержень будет сохранять горизонтальное положение?

928. Два одинаковых гладких полуцилиндра, общая масса которых m, подвешены на нерастяжимой невесомой нити так, как показано на рисунке. Чему равны сила натяжения нити и сила давления одного полуцилиндра на другой?

1008. Стержень АВ помещен внутрь цилиндра. В точке A стержень закреплен шарнирно, в точке С он опирается на верхнюю кромку цилиндра, точки А и С лежат в вертикальной плоскости, проходящей через ось цилиндра; угол, который составляет стержень с горизонтом, равен a. Стержень смещают по верхней кромке так, что он касается ее в точке C' и угол С'ОС равен j. При каком минимальном коэффициенте трения стержень будет находиться в этом положении в равновесии?

1033. Через блок радиусом R перекинут снизу однородный гибкий канат массой m и длиной l, прикрепленный к двум крюкам на потолке, расположенным на расстоянии 2R. На оси блока висит груз, масса которого вместе с блоком М. Трение между канатом и блоком отсутствует. Найдите минимальную силу натяжения каната.

1083. Однородный кирпич ABCDA'B'C'D' обладает следующим свойством: если разрезать его произвольной плоскостью, проходящей через ребро АА', то каждая из двух частей кирпича, поставленная на новую грань AEE'A', не падает. Найдите соотношения между размерами кирпича, при которых это возможно.

Ф1054. Два стержня одинаковой формы сделаны из материалов с разными упругими свойствами — модули Юнга материалов равны соответственно E₁ и Е₂, Стержни склеены торцами и покрашены одной краской, так что получившийся образец выглядит как однородный стержень. Какой модуль Юнга «вещества» этого стержня измерит экспериментатор, не знающий, что стержень составной?

в. А. Давыдов

Ф1113. Шар радиусом R может свободно вращаться на закрепленной горизонтально оси OO', Под шаром, прижимаясь к нему, движется шероховатая жесткая лента, изогнутая в виде полуцилиндра радиусом R. Скорость ленты v направлена горизонтально и перпендикулярно оси OO'. Чему равна установившаяся скорость вращения шара?

Л. Г. Маркович

Ф1134. Исследуя вновь открытую планету, имеющую форму шара радиусом R = 6400 км и покрытую по всей поверхности океаном глубиной Н = 10 км из обычной воды, ученые установили, что ускорение свободного падения остается с большой степенью точности неизменным при погружении в океан на различные глубины. Определите по этим данным ускорение свободного падения на планете. Гравитационная постоянная G = 6,67×10^-11Н×м²/кг².

И. И. Воробьев

Ф1203. На шероховатой железнодорожной платформе стоит равномерно заполненный контейнер высотой Н и шириной L, имеющий с одной стороны маленькие колеса. При разгоне поезда влево контейнер начинает сползать вправо по платформе, если ускорение разгона превышает а ₀. С каким минимальным ускорением должен затормозить поезд, чтобы контейнер начал сползать влево? Трением качения пренебречь.

Д. Ю. Григорьев

Ф1213. Однородная нерастяжимая веревка подвешена за концы в точках А и В, находящихся на разной высоте. Натяжение веревки в точке А равно Т_A. Найти натяжение веревки в точке В, если она находится на h выше точки А. Масса веревки m, длина l.

Е. Татаринова

Ф1218. Цилиндр массой m находится между подвижной горизонтальной поверхностью и закрепленной под углом a наклонной плоскостью. Коэффициент трения цилиндра о горизонтальную поверхность m₁, о наклонную — m₂. Горизонтальную поверхность равномерно двигают влево. Какую минимальную силу приходится для этого прикладывать?

м. Цыпин

Ф1333. Ведро с водой свисает с ворота колодца, тяжелая ручка ворота находится в нижнем положении. Если ведро отпустить, оно начнет двигаться и достигнет дна колодца. Подберем количество воды таким, чтобы при его уменьшении ведро при движении не достигало дна. При каком положении ручки ворота система в этом случае может находиться в равновесии? Веревку считайте легкой. Трением можно пренебречь.

Б. Корсунский

Ф1358. При каких значениях коэффициента трения жесткая палочка длиной l с резиновыми наконечниками сможет удерживаться в горизонтальном положении под куполом радиусом R?

Д. Григорьев