Кинематика

Механика

7. Горизонтальный стержень O₁А длиной l вращается вокруг вертикальной оси ОO₁. На ось, прикрепленную к концу стержня O₁А, насажено колесо радиусом r. Ось колеса горизонтальна и составляет угол a со стержнем O₁A. Колесо вращается на оси без трения и катится по земле. Трение между колесом и почвой большое. Сколько оборотов сделает колесо, когда стержень O₁A сделает один оборот вокруг вертикальной оси?

12. Два одинаковых тяжелых стальных шарика вращаются на легких стержнях длиной l и. 2l вокруг точек О₁, и O₂, расстояние между которыми равно 3l. В начальный момент шарики находятся в точках A и B, имея скорости v и 2v соответственно. Сколько раз столкнутся шарики за время t? За какое время шарики столкнутся k раз? Удары шариков считать абсолютно упругими.

18. Если смотреть на свет сквозь две гребенки с разной частотой зубьев, наложенные друг на друга, то светлые участки будут чередоваться с темными. С какой скоростью будут перемещаться эти участки, если одну из гребенок двигать относительно второй со скоростью 1 см/с? Неподвижная гребенка имеет 5 зубьев на сантиметр, а движущаяся — 6.

30. В киноаппарате и кинопроекторе проходит 8 кадров в секунду. На экране движется автомобиль с колесами, реальный диаметр которых 1 м. Изображения колес делают 2 оборота в секунду. Какова скорость автомобиля?

46. На мячик с высоты 1 м падает кубик, подскакивающий затем почти на 1 м. На какую высоту подскочит мячик, если на него с высоты 1 м упадет точно такой же мячик?

52. Мяч брошен вертикально вверх. Что больше: время подъема или время падения?

103. Из пушки делают две серии выстрелов, наклонив ствол под углами 30° и 40° к горизонту. В каком случае попадания снарядов будут более кучными, если разброс вызван неточным прицеливанием, а не разбросом начальных скоростей снарядов? Сопротивление воздуха считать пренебрежимо малым.

135. Мина, лежащая на земле, взрывается от детонации. Осколки мины начинают двигаться симметрично во все стороны с одинаковыми скоростями v. Размеры всех осколков одинаковы. Какая часть осколков упадет вне круга радиусом R с центром в точке взрыва?

139. Футболист ударил по мячу, сообщив ему скорость v под углом a к горизонту, и попал в ближний нижний угол ворот. Если бы футболист ударил по мячу в том же месте футбольного поля и мяч полетел бы под тем же углом к горизонту, но со скоростью, на 5% большей скорости v, то он попал бы в верхнюю штангу ворот. Найдите скорость, с которой начинает двигаться мяч, если высота ворот h = 2 м, а угол a = 30°.

157. По плоскости катится обруч радиусом R. Ускорение центра обруча равно a. Найдите ускорения точек A, В, С и D обруча через время t после начала его движения, если начальная скорость центра обруча равна v₀ и обруч не проскальзывает.

179. Подводная лодка, погружаясь вертикально, излучает короткие звуковые импульсы сигнала гидролокатора длительностью t₀ в направлении дна. Длительность отраженных сигналов, измеряемых гидроакустиком на лодке, равна t. Какова скорость погружения лодки? Скорость звука в воде u. Дно горизонтально.

302. За лисой, бегущей прямолинейно и равномерно со скоростью v₁, гонится собака, скорость которой v₂ постоянна по величие и направлена все время на лису. В момент, когда скорости v₁, и v₂ оказались взаимно перпендикулярными, расстояние между лисой и собакой было L. Каково было ускорение собаки в этот момент?

307. Самолет пролетает с постоянной скоростью v по горизонтальной прямой, проходящей над головой наблюдателя. Какой угол с вертикалью составляет направление, по которому к наблюдателю доносится звук мотора в тот момент, когда наблюдатель видит самолет в направлении, составляющем угол j с вертикалью? Скорость звука c. Рассмотрите случаи v > c и v < c.

328. Жесткие стержни длинами l₁ и l₂ соединены шарнирно в точке А. Их свободные концы удаляются друг от друга равномерно со скоростями v₁ и v₂, направленными вдоль одной прямой. Найдите ускорение точки А в тот момент, когда стержни составляют друг с другом угол 90°. Движение стержней происходит в одной плоскости.

363. На цилиндр намотаны нити, как показано на рисунке. Правые концы нитей тянут со скоростью v₁, а левые — со скоростью v₂. С какой угловой скоростью вращается при этом цилиндр вокруг своей оси? Радиус цилиндра R.

387. Два велосипедиста в цирке едут с одинаковыми линейными скоростями v по окружностям радиусами R₁ и R₂, центры которых находятся на расстоянии l друг от друга (l < R₁ + R₂). Один из велосипедистов движется по часовой стрелке, другой — против. Найдите относительные скорости велосипедистов в тот момент, когда они оба находятся на линии, проходящей через центры окружностей, в точках: а) A₁ и А₂, б) A₁ и B₂, в) B₁ и B₂, г) А₂ и В₁.

407. Машинист пассажирского поезда, двигавшегося со скоростью v₁ = 108 км/ч, заметил на расстоянии s₀ = 180 м впереди движущийся в ту же сторону со скоростью v₂ = 32,4 км/ч товарный поезд. Машинист сразу включил тормоз, благодаря чему пассажирский поезд начал двигаться с ускорением а = -1,2 м/с². Достаточно ли этого ускорения для того, чтобы поезда не столкнулись?

416. Самолет, пролетев расстояние l₁ по прямой AB, попадает из пункта A в пункт B за время t₁. Затем он пролетает расстояние l₂ по прямой ВС из пункта В в пункт С за время t₂ и возвращается в пункт А по прямой СА, пролетев расстояние l₃ за время t₃. Во время перелета дует ветер, скорость которого не меняется в течение всего перелета. Определите скорость ветра, если скорость самолета относительно воздуха во время всего полета по абсолютной величине постоянна.

443. Как известно, земной шар делает полный оборот вокруг своей оси за 23 ч 56 мин 04 с. Следовательно, за сутки все часы, циферблат которых разделен на 24 часа, должны отставать почти на 4 мин. Это составляет почти полчаса в неделю. Почему же мы не замечаем этого отставания и не подводим все часы непрерывно?

458. Мальчик плывет со скоростью, в два раза меньшей скорости течения реки. В каком направлении он должен плыть к другому берегу, чтобы его снесло течением как можно меньше?

497. Диск радиусом r, вращающийся с угловой скоростью w, бросают со скоростью v под углом a к горизонту. Плоскость диска во время его движения остается вертикальной. Найдите радиус кривизны траектории самой верхней точки диска в тот момент, когда диск достигнет максимальной высоты своего подъема.

500. На столбе на высоте h над землей висит звонок. На каком расстоянии от столба звук слышен громче всего, если скорость звука c, а скорость ветра, дующего горизонтально, v?

508. Период обращения Меркурия вокруг Солнца составляет 88 земных суток, а вокруг своей оси — 59 земных суток. Какова продолжительность дня и ночи на Меркурии?

578. Концы А и В стержня АВ скользят по сторонам прямого угла. Как зависит от угла a, образуемого стержнем с одной из сторон этого угла, ускорение середины стержня (точки С), если конец В стержня движется с постоянной скоростью v, а длина стержня l?

583. Наблюдатель движется с постоянной скоростью вдоль некоторой наклонной прямой. Брошенное под углом к горизонту тело пересекает траекторию наблюдателя дважды с интервалом времени t. Оба раза тело находится впереди наблюдателя на одном и том же расстоянии от него. Как выглядит с точки зрения наблюдателя траектория тела? После второго пересечения наблюдатель измеряет пути, пройденные телом за последовательные равные промежутки времени длительностью t. Найдите отношение этих путей.

588. Рисунок (вид сверху) сделан с фотографии шлейфов дыма, тянущихся от трех паровозов, которые движутся по прямолинейному участку железнодорожного пути. Скорость первого паровоза v₁ = 50 км/ч, второго v₂ = 70 км/ч, а направления их движения указаны на рисунке стрелками. Какова скорость третьего паровоза?

596. Промежуток времени между двумя последовательным затмениями спутника Юпитера Ио в течение года изменяется от минимального значения 42 ч 28 мин 21 с до максимального 42 ч 28 мин 51 с. Пользуясь этими данными, определите скорость света, считая, что Земля движется вокруг Солнца по круговой орбите радиусом 150 млн. км. Радиус орбиты Юпитера гораздо больше радиуса орбиты Земли, а скорость движения Юпитера гораздо меньше скорости движения Земли.

603. Студент ездит в институт на метро по кольцевой линии. Станция, на которой он садится, и станция, на которой он выходит, находятся на противоположных концах диаметра кольца, так что студенту безразлично, в какую сторону ехать. Поэтому он садится в тот поезд, который подойдет раньше. Количества поездов, идущих по кольцу в разные стороны, одинаковы. Однако студент заметил, что он чаще ездит на поезде, идущем по часовой стрелке. Как это можно объяснить?

607. Самолет летит по замкнутому маршруту ABC. Пункты A, B и C лежат в вершинах правильного треугольника. В каком случае время, затраченное на перелет, будет меньше: если ветер дует в направлении вектора AB или в направлении вектора BA?

621. Конец нити, намотанной на катушку, перекинут через вбитый в стену гвоздь. Нитку тянут с постоянной скоростью v. С какой скоростью двигается центр катушки в тот момент, когда нить составляет угол a с вертикалью? Внешний радиус катушки R, внутренний r.

640. На рисунке показаны границы областей волнений, возбуждаемых кораблем на двух участках пути. Горизонтальными стрелками указаны направления скорости корабля. На первом участке течение отсутствует. Направление течения на втором участке показано вертикальной стрелкой. Определите скорость течения, если скорость корабля относительно берегов в обоих случаях одна и та же и равна 18 км/ч.

648. Шарнирная конструкция состоит из трех ромбов, стороны которых относятся как 3:2:1. Вершина A₃ перемещается в горизонтальном направлении со скоростью V₀. Определите скорости вершин A₁, А₂, В₂ в тот момент, когда все углы конструкции прямые.

Радиус внутренней обоймы шарикоподшипника r, а внешней R. Сколько оборотов сделает шарик между этими обоймами, если внешняя обойма сделает n₁, а внутренняя n₂ оборотов вокруг оси?

678. Артиллерийское орудие стреляет из-под укрытия, наклоненного под углом a к горизонту. Орудие находится в точке A на расстоянии l от основания укрытия (точка В). Начальная скорость снаряда v₀. Считая, что траектория снаряда лежит в плоскости рисунка, определите максимальную дальность полета.

693. На неподвижном клине, образующем угол j с горизонтом, лежит невесомая нерастяжимая веревка. Один из концов веревки закреплен в точке А. К нижнему концу веревки (точка В) прикреплен небольшой грузик. В некоторый момент времени клин начинает двигаться вправо с постоянным ускорением a. С каким ускорением движется грузик, пока он находится на клине?

718. На берегу реки, скорость течения которой равна w, в точке A находится мальчик. Он может бежать по берегу со скоростью v и плыть по реке со скоростью u (относительно воды), причем u < w. На каком расстоянии от точки A находится та точка C берега, откуда мальчик должен начать плыть, чтобы добраться до бакена B за наименьшее время? Расстояние BD от бакена до берега h, расстояние AD по берегу l.

Ф738. Частицы движутся гуськом с постоянными скоростями. Скорости частиц равномерно возрастают от значения v₁ в голове колонны до значения v₂ в хвосте колонны. В некоторый момент частицы занимают отрезок длины l₀ и при этом на единицу длины приходится n₀ частиц. Сколько частиц спустя время t будет приходиться на единицу длины в хвосте колонны? в голове колонны?

И. Воробьев

Ф758. Жесткая заготовка зажата между двумя параллельными направляющими, движущимися в горизонтальном направлении со скоростями v₁ и v₂. В некоторый момент времени точки касания заготовки с направляющими лежат на прямой, перпендикулярной векторам v₁ и v₂. Какие точки заготовки имеют в этот момент скорости, равные по абсолютной величине v₁ и v₂?

С. Кротов

Ф763. На горизонтальной поверхности стоит обруч радиуса R. Мимо него движется со скоростью v такой же обруч. Найти зависимость скорости верхней точки «пересечения» обручей от расстояния между их центрами. Обручи тонкие; второй обруч «проезжает» вплотную к первому.

С. Кротов

Ф798. В реку, скорость течения которой везде равна u, из точки О на берегу бросают камень перпендикулярно берегу. Скорость поверхностных волн в воде равна v. Через какое время после падения камня волна придет в точку О, если камень упал на расстоянии L от берега?

П. И. Зубков

808. Моторная лодка, находящаяся в точке A на расстоянии R от берега озера, начинает разворот, двигаясь со скоростью v = 18 км/ч по окружности радиусом r = R/2; в начальный момент скорость лодки направлена к берегу. Волна от лодки дошла до берега через время t = 3 мин после начала разворота. Скорость распространения волн от лодки по поверхности воды u = 9 км/ч. Найдите расстояние R.

Ф818. Два жестких стержня длины l каждый шарнирно скреплены в точке А. Стержень ВА жестко закреплен в точке В, а точка С стержня АС может скользить по направляющей ВС. Стержень ВА начинают вращать в плоскости рисунка вокруг точки В с постоянной угловой скоростью w. Чему будут равны максимальная скорость и ускорение точки С, если в начальный момент стержни вытянуты вдоль направляющей ВС (ÐВAС = p)?

Л. Г. Маркович

873. Вымпел на мачте корабля образует угол 60° с курсом корабля при его скорости 20 км/ч. Не меняя курса, корабль увеличил скорость в 2 раза, и угол стал равным 30°. Найдите по этим данным скорость ветра (считая ее неизменной). При какой скорости корабля угол станет равным 90°?

883. При разрыве неподвижного зенитного снаряда он разлетается на очень большое число осколков, летящих равномерно во все стороны со скоростью v₀. Такой снаряд, летящий вниз со скоростью u, разрывается на высоте Н над землей. Когда осколки будут падать на землю наиболее часто?

889. Солнце находится на угловой высоте j над горизонтом. Под каким углом к поверхности Земли нужно бросить тело в вертикальной плоскости, проходящей через Солнце, чтобы тень прошла наибольший путь по Земле?

938. Пилот космического корабля, движущегося со скоростью v = 1 км/с, заметил прямо по курсу астероид диаметром d = 7 км, когда до его поверхности оставалось расстояние l = 8,5 км. Космонавт сразу же включил аварийные двигатели, которые за пренебрежимо малое время сообщают кораблю дополнительную скорость DV = 300 м/с, направление которой задается космонавтом. Может ли корабль избежать столкновения?

Ф1018. Катер, привязанный у берега большого озера (береговая линия — прямая), неожиданно отвязался, и ветер погнал его с постоянной скоростью v₀ = 2,5 км/ч под углом a = 15° к берегу. Сможете ли вы догнать катер, если ваша скорость на берегу v₁ = 4 км/ч, в воде — v₂ = 2 км/ч? При какой скорости катера это вообще возможно?

С. С. Кротов

1023. Лампочка висит на расстоянии l₁ от потолка на высоте l₂ от пола. При ее взрыве осколки разлетаются во все стороны с одной и той же по величине скоростью v. Найдите радиус круга на полу, в который попадут осколки. Считать, что удары осколков о потолок абсолютно упругие, а о пол — неупругие; до стен осколки не долетают.

1043. По гладкой горизонтальной поверхности, вращаясь, скользит со скоростью v = 10 см/с палочка длиной l = 10 см. При какой угловой скорости вращения палочка ударится о вертикальную стену плашмя, если на расстоянии L = 50 см от стены палочка была параллельна стене?

1048. Киномеханик по ошибке вставил киноленту так, что все события на экране «потекли в обратном направлении», при этом автомобили поехали назад. Как изменяются скорость и ускорение автомобиля в результате такой ошибки?

1049. Деревянный плот оттолкнули от берега реки так, что в начальный момент его скорость была равной v и направлена перпендикулярно берегу. Траектория плота показана на рисунке. Крестиком на траектории отмечено место, в котором плот находится через время Т после начала движения. Считая скорость реки постоянной и равной и, найдите графически точки траектории, в которых плот находился в моменты времени 2T, 3T, 4T.

Ф1063. Пешеходу необходимо в кратчайшее время попасть из точки поля А в точку поля В, расстояние между которыми 1300 м. Поле пересекает прямолинейная дорога так, что точка А находится от нее на расстоянии 600 м, а точка В — на расстоянии 100 м. Скорость перемещения пешехода по полю равна 3 км/ч, а по дороге — 6 км/ч. Какой путь должен избрать пешеход? Чему равно минимальное время? Рассмотреть случаи, когда точки А и В лежат по одну сторону от дороги и когда они лежат по разные стороны от дороги.

С. С. Кротов

1073. Маленький упругий мячик отпускают с высоты H = 1 м над полом, а на его пути закрепляют пластинку, от которой он отскакивает. Какая скорость будет у мячика в момент удара о пол? Как нужно расположить пластинку, чтобы мячик ударился о пол как можно дальше от начальной точки? Чему равно это максимальное расстояние?

Ф1214. Вдогонку снаряду, выпущенному горизонтально с горы высотой h = 1 км со скоростью v₀ = 500 м/с, через время t₀ = 1 с выпущен второй снаряд. Какой минимальной начальной скоростью он должен обладать и под каким углом вылететь, чтобы догнать первый снаряд?

в. Никифоров

Ф1243. Таракан и два жука могут ползать по большому горизонтальному столу. Каждый из жуков может развивать скорость до 1 см/с. В первый момент насекомые находятся в вершинах равностороннего треугольника. Какую скорость должен уметь развивать таракан, чтобы при любых перемещениях жуков треугольник оставался равносторонним?

А. Коршков

Ф1278. Летевший вертикально вверх снаряд взорвался на максимальной высоте. Осколки снаряда выпадают на землю в течение промежутка времени t. Найдите скорость осколков в момент взрыва.

О. Савченко

Ф1288. Посредине большой круглой комнаты диаметром 20 м с высотой потолка 3,2 м стоит большой сейф в виде куба с ребром 3 м. При помощи игрушечной катапульты, расположенной на полу, мы хотим забросить камешек на середину «крыши» сейфа так, чтобы камешек не коснулся потолка. Какая минимальная скорость для этого необходима? При какой высоте потолка в комнате это вообще возможно?

3. Рафаилов

Ф1323. Тело немного сместили из положения неустойчивого равновесия, и оно поехало. При этом скорость удаления от начальной точки возрастает по закону , где х — расстояние до начальной точки, А — постоянный коэффициент. Через какое время тело окажется на расстоянии L?

3. Рафаилов

Ф1348*. Однородный резиновый шнур длиной L прикреплен одним концом к стене. Другой его конец в некоторый момент времени начинают двигать вдоль шнура со скоростью v, равномерно растягивая его при этом. В тот же момент от закрепленного конца вдоль шнура начинает двигаться жук, скорость которого относительно опоры (шнура) постоянна и равна v. При каких условиях жук сможет добраться до конца шнура? За какое время он это сделает? На каком максимальном расстоянии от подвижного конца шнура он окажется во время движения? Считайте, что шнур деформируется без разрыва.

Ф1418. По окружности радиусом R с постоянной скоростью v бежит лошадь. На расстоянии r от центра окружности стоит человек. Чему равно максимальное значение скорости сближения лошади и человека?

А. Быцко

Ф1438. Лиса гонит зайца, держа курс точно на него. Заяц, как известно, косой — он думает, что удирает от лисы точно вдоль соединяющей их прямой, а на самом деле его скорость составляет все время угол 60° с этой прямой. Начальное расстояние между лисой и зайцем составляет L, скорости их одинаковы и равны v. Через какое время лиса догонит зайца? На каком расстоянии от начального положения лисы это произойдет? Как изменится ответ, если заяц окосеет до 90°? А если поправит зрение до 40°?

О. Шпырко