Одноэлектронный водородоподобный атом

— оператор Лапласа (он же Ѳ).

Перейдем к сферическим координатам (переход громоздкий, поэтому лучше заучить конечный вариант)

Произведем замену

Умножим на r²sin²q

Второе слагаемое тут зависит только от φ. Перенесём его в правую часть равенства.

Равенство возможно, когда обе части равны какой-то постоянной величине. Обозначим её Следовательно,

Решением этого уравнения являются функции

Угол φ может изменяться от 0 до 2π. Функция Φ должна быть периодической с периодом 2π. Это возможно, только если Таким образом, из решения уравнения Шрёдингера получаем значение одного из квантовых чисел (конечно, из него можно получить их все). Число m_l называется магнитным квантовым числом.

Далее, интегрируя квадрат модуля функции Φ от 0 до 2π и приравнивая полученное выражение к единице, получим, что

Далее рассмотрим левую часть уравнения (1). Она, конечно, равна

Разделим уравнение на sin ²θ:

После аналогичного вышеуказанному перенесению второго слагаемого в правую часть и обозначения величины, которой равны эти части, через β, получаем

Решение этих двух последних уравнений приводит к значениям l и n соответственно. Три квантовых числа в совокупности полностью описывают состояния электрона в атоме водорода. Число n называется главным квантовым числом. Оно может иметь значения от 1 до Число l называется азимутальным квантовым числом и определяет орбитальный момент количества движения электрона и форму электронного облака; может иметь значения от 0 до n − 1 (n здесь относится к энергетическом уровню, на котором находится рассматриваемый электрон).

Радиальную часть волновой функции можно записать как (для атома водорода Z=1):

Магнитное квантовое число m_l определяет проекцию орбитального момента количества движения на выбранную ось в магнитном поле. Эта проекция равна

a ₀ – боровский радиус,

обобщенный полином Лагерра степени n − ℓ − 1, (он определяется разными авторами по-разному, например в предыдущей формуле по Фларри он определен для n + ℓ)

- сферическая гармоническая функция степени ℓ порядка m.

Квантовые числа имеют следующие значения:

Кроме того, эта волновая функция нормированна.