Минеральной частицы в жидкой среде для первой автомодельной области

Для этого случая характерно , тогда сила сопротивления среды движению составит (сила Стокса).

Уравнение движения для этого случая принимает вид:

Введение новых обозначений и замена массы и объема сферической частицы их значениями дает уравнение

,

где - - ускорение силы тяжести в жидкой среде; .

Его решением при разделении переменных является

; ; .

Постоянную интегрирования С найдем из начальных условий: при t=0 (начало процесса) v=v_i – скорость равна некоторой начальной, в частности, она может быть равной нулю.

Таким образом, . Тогда: , откуда, после постановки входящих в формулу значений получаем:

.

Анализ полученной зависимости скорости движения частицы показывает, что при бесконечно большом времени движения , скорость стремится к некоторому пределу, равному . Этот предел по смыслу соответствует конечной скорости падения частицы в свободных условиях. Тогда формула для скорости частицы в зависимости от времени примет вид:

.

Пример. Найти конечную скорость падения в воде частиц кварца с эквивалентным диаметром 50 мкм. Плотность кварца принять равной 2650 кг/м³, плотность воды - 1000 кг/м³, а коэффициент ее динамической вязкости – 10^-3 Па·с.

Решение. .

Пример. Каково значение критерия Рейнольдса для приведенного выше примера.

Решение. .

Пример. Если частица кварца с эквивалентным диаметром 50 мкм имеет конечную скорость падения в воде, равную 2,25·10^-3 м/с, то с какой скоростью будут падать частицы кварца с эквивалентным диаметром 100 мкм.

Решение. Поскольку конечная скорость падения пропорциональна квадрату эквивалентного диаметра, то .