Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Глава V. Квантовая динамика. Эволюция квантовых систем во времени
Уравнения движения составляют основу физической теории. Так в классической механике состояние системы описывается каноническими переменными qj, pj, число которых равно удвоенному числу степеней свободы. Все другие физические величины являются функциями канонических переменных. Зависимость этих переменных от времени qj=qi(t), pj=pj(t) есть одновременно эволюция во времени и состояние классической системы, и всех физических величин. Рассмотрим особенности квантовой динамики, учитывая, что состояние квантовой системы описывается вектором ψ Г, физические же величины изображаются линейными самосопряженными операторами. Что же должно изменяться с течением времени в процессе эволюции квантовой системы? Ответить однозначно на этот вопрос нельзя, поскольку существуют различные способы описания эволюции квантовых систем во времени. Так в 1925 г. В.Гейзенберг записал знаменитое уравнение эволюции во времени эрмитовых операторов физических величин, характеризующих квантовую систему, при этом полагалось, что вектор состояния во времени не меняется, т.е. ψ(t)=ψ(0)=ψ - гейзенберговская картина движения. Уравнение Гейзенберга было первоначально введено в матричной форме, тем самым было положено начало направлению, которое получило название "матричной механики". В 1926г. появилось уравнение Шредингера для волновой функции ψ(,t), описывающее эволюцию во времени состояния квантовой системы. Операторы же физических величин при этом не зависят от времени: . Такова картина движения Шредингера, который положил начало направлению, получившему название "волновой механики". В 1927 г. П.Дирак показал эквивалентность уравнений Гейзенберга и Шредингера.
§13. Эволюция квантовой системы во времени: уравнение Гейзенберга В классической механике при отыскании первых интегралов движения важное значение имеют скобки Пуассона. Дело в том, что выражение полной производной по времени от некоторой функции канонических переменных и времени имеет вид: (13.1) где (13.2) называются скобками Пуассона, - функция Гамильтона. Уравнение (13.1) выражает эволюцию классической системы во времени. Действительно, если выбирать в качестве физической величины А канонические переменные qj, pj, то легко получить уравнения движения Гамильтона: (13.3) Согласно 4-му постулату квантовой механики каждой физической величине (динамической переменной) ставится в соответствие линейный эрмитов оператор: Следовательно, классическим скобкам Пуассона (13.2`) должны быть поставлены в соответствие квантовые скобки , вид которых определен Дираком из следующих соображений. Если A=x, B=px, то . Тогда с учетом коммутатора операторов x и px (10.4) можно получить аналогичное квантовое выражение, равное единице: (13.4) т.е. квантовые скобки для операторов величин x и px должны иметь вид: (13.5) Таким образом, классическим скобкам соответствуют квантовые скобки Пуассона: (13.6) Тогда в силу принципа соответствия классическому уравнению (13.1), выражающему временную эволюцию системы, следует сопоставить квантовое уравнение движения: (13.7) Это и есть уравнение Гейзенберга, при этом система описывается не меняющимся с течением времени вектором ψ: ψ(0)=ψ(t)=ψ. Эволюция квантовой системы связана с тем, что от времени зависят операторы всех физических величин согласно уравнению (13.7), вектор же состояния системы не зависит от времени - гейзенберговская картина движения (гейзенберговское представление). Выбирая в качестве A операторы координат и импульса, которые явно не зависят от времени, из уравнения (13.7) получим квантовые канонические уравнения движения - уравнения Гамильтона: (13.8) Получим строгое решение уравнения Гейзенберга для случая, когда и . Если A и H явно не зависят от времени, то квантовое уравнение движения (13.7) принимает вид: (13.9) причем , т.е. оператор полной энергии не зависит от времени: H(t)=H(0)=H. Тогда уравнение (13.9) упрощается: (13.10) Для определения вида решения уравнения (13.10) учтем лишь пока первое слагаемое в правой части, т.е. рассмотрим уравнение (13.11) Решением этого уравнения является оператор (13.12) где экспоненту можно представить разложением в ряд: (13.13) Тогда решение уравнения (13.10) будем искать в виде: (13.14) здесь учитывает наличие второго слагаемого в правой части уравнения (13.10). Потребуем, чтобы (13.14) было решением уравнения (13.10). Для этого вычислим : (13.15) Подставив (13.14) и (13.15) в уравнение (13.10), найдем: (13.16) Отсюда для искомого оператора получаем уравнение: (13.17) решением которого является оператор (13.18) Следовательно, оператор любой физической величины меняется со временем по закону: (13.19) Этот закон можно записать через унитарные операторы. Для этого введем в рассмотрение оператор (13.20) называемый оператором эволюции системы во времени. Тогда обратным ему оператором будет (13.21) Учитывая эрмитовость гамильтониана H, найдем оператор , сопряженный оператору (13.20): [8] Итак, (13.22) тогда (13.23) т.е. оператор эволюции системы является унитарным оператором. Таким образом, связь оператора Гейзенберга с осуществляется унитарным преобразованием: (13.24)
Date: 2015-05-18; view: 950; Нарушение авторских прав |