Уравнение фон Неймана для матрицы плотности

Рассмотрим описание состояния квантовой системы с помощью оператора матрицы плотности . Как меняется с течением времени оператор ?

Для выяснения этого вопроса вновь используем выражение среднего значения некоторой физической величины A, изображающейся линейным эрмитовым оператором в гейзенберговском представлении:

.

Согласно (13.24)

поэтому

(15.1)

где учтено свойство цикличной инвариантности следа матрицы плотности (8.22).

В выражении (15.1) эволюция во времени перенесена на матрицу плотности :

(15.2)

Дифференцируя (15.2) по времени, получим^[10]

Таким образом, уравнение, описывающее эволюцию матрицы плотности во времени имеет вид:

(15.3)

Это уравнение, полученное фон Нейманом, позволяет определить оператор для любого момента времени, если он известен при t₀=0.