Средние значения физических величин и матрицы плотности

Если состояние квантовой системы описывается вектором , то его можно записать в произвольном «A – представлении». Для этого следует Y разложить в ряд по собственным векторам оператора :

.

Тогда среднее значение некоторой физической величины в состоянии Y представится в виде:

, (8.17)

где - матричный элемент оператора в «A – представлении».

Обозначим

, (8.18)

где - матричный элемент некоторого оператора . Матрица оператора является также эрмитовой и называется матрицей плотности. Согласно определению матричного элемента оператора

, (8.19)

причем диагональные элементы матрицы плотности определяют вероятности (или плотности вероятностей) измерения какой-либо физической величины.

Очевидно, сумма диагональных элементов матрицы плотности равна единице:

, (8.20)

где знак - «шпур» – означает сумму диагональных элементов матрицы.

Тогда формула для среднего значения физической величины в состоянии Y примет вид:

,

т.е.

. (8.21)

Таким образом, матрица плотности есть оператор, с помощью которого вычисляется среднее значение любой физической величины. Описание состояний систем с помощью матрицы плотности является наиболее общей формой квантовомеханического рассмотрения. Даже смешанные состояния квантовомеханических систем описываются матрицей плотности.