II Векторное произведение

Под векторным произведением двух векторов понимается вектор , для которого:

1) модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т.е. , где j=a^b, (0£j£p)

2) этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам (иначе говоря, перпендикулярен плоскости построенного на них параллелограмма), т.е. .

3) если вектора не коллинеарные, то векторы , образуют правую тройку векторов.

Свойства:

1 При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на противоположный, сохраняя модуль, т.е. (коммутативность не выполняется)

2 Векторный квадрат равен нуль-вектору, т.е.

3 линейность a=const

4 дистрибутивность

5

Выражение векторного произведения через координаты векторов сомножителей
25 Вывод канонических уравнений эллипса, гиперболы, параболы.

Опр. Эллипсом называют геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости (фокусов) есть величина постоянная, которую обозначают 2a.

(M,F₁)=r₁, (M,F₂)=r₂ - фокальные радиусы точки М

М эллипсу r₁+ r₂=const=2a

(F₁, F₂) – фокальное расстояние |F₁ F₂|=2c

r₁+ r₂ |F₁ F₂| 2a 2c (2a=2c M, F₁, F₂ – лежат на одной прямой)

a>c e= <1 - эксцентриситет эллипса

Введем систему координат: за ось абсцисс примем прямую F₁F₂ (фокальная ось эллипса), за начало примем середину отрезка F₁F₂

Такая выбранная система координат называется канонической

(1)- уравнение эллипса

Возведем в квадрат

(x+c)² + y² =4a² +(x-c)² + y² -4a

4a² -4xc -4a =0

a² -xc =a Возведем в квадрат

a⁴ - 2a²xc + x²c² = a²x²-2a²xc+ a²c² +a²y²

a⁴ + x²c² = a²x²+ a²c² +a²y²

a²(a²- c²) = x² (a² -c²) +a²y² (т.к. a>c => a² -c² >0 обозначим a² -c² = b²)

a²b²= x² b² +a²y² или - (2) уравнение эллипса

При переходе от (1) к (2) обе части уравнения два раза возводили в квадрат => могли появиться лишние корни. Надо доказать, что точка, коорд. которой удовлетворяют (2) принадлежит эллипсу.

Пусть M₀(x₀, y₀): => y₀²=

Надо доказать (M₀,F₁)+ (M₀,F₂) =2a

(M₀,F₁)= ; (M₀,F₂) =

(M₀ ,F₁)=

(M₀,F₂) = | a – ex ₀ |

и e<1 => | ex ₀|<a => a – ex ₀>0 и a + ex ₀ >0

(M₀,F₁)= a + ex ₀ (M₀,F₂)= a – ex ₀

a + ex ₀+ a – ex ₀ =2a

ð (2) – каноническое уравнение эллипса

Фокальные радиусы: r₁ = a + ex _; r₂ = a – ex

Опр. Гиперболой называют геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек плоскости (фокусов) есть величина постоянная, которую обозначают 2a.

(M,F₁)=r₁, (M,F₂)=r₂ - фокальные радиусы точки М

М гиперболе |r₁- r₂ |=const=2a

(F₁, F₂) - фокальное расстояние |F₁ F₂|=2c

|r₁- r₂|<2c a<c e = > 1 - эксцентриситет гиперболы

Введем систему координат: за ось абсцисс примем прямую F₁F₂ (фокальная ось эллипса), за начало примем середину отрезка F₁F₂