Действия над векторами

Действия над векторами в пространстве определяются аналогично тому, как они определялись для векторов на плоскости.

Определение. Суммой векторов а {а_г, а₂, а₃) и Ъ(b_v b₂, b₃) называется вектор a + b с координатами (a_t + Ь{, а_г + Ъ₂; а₃ + Ь₃). Для любых векторов а, Ъ и с справедливы равенства:

1) a + b = b + а — переместительный закон сложения;

2) а + \Ь + с) =(р + Ь) + с — сочетательный закон сложения.
Чтобы доказать эти свойства, достаточно сравнить соответствующие

координаты левой и правой частей каждого векторного равенства. Для любых трех точек А, В, С в пространстве имеет место векторное

равенство ^АВ + Ъ1с = АС.

Действительно, для любых трех точек A(a_v а₂, а₃), B(b_v Ъ₂, Ь₃),

СЦ, с₂, с₃) АВ(Ь_г - сц Ъ₂ - а₂; b_s - а₃) и ВС (с_х - Ь_1? с₂ - Ь₂; с₃ - &₃).

Отсюда АВ + В~С = AC (c_t - a_t; с₂ - a₂; c₃ - a₃).

Геометрически сумму двух векторов пространства можно находить, пользуясь правилом треугольника (рис. 57).

Также применяется и правило параллелограмма. Оно часто используется в физике.

Если ABCD — параллелограмм (рис. 58), то АВ + А~Ь = АС.

Чтобы найти сумму нескольких векторов, используем правило многоугольника. Например, если в пространстве даны точки А, В, С, D, E, F, то всегда

Определение. Два вектора, сумма которых равна нулевому вектору, называют противоположными.

Из определения следует, что у противоположных векторов соот­ветствующие координаты имеют противоположные знаки.

Определение. Разностью векторов a ub называется такой вектор с, который в сумме с вектором $ дает вектор а.

Если a(aj a₂; a₃)и ЪФ{, Ъ₂, Ъ₃), тюа-Ъ = с(а₁- Ь_х; а₂ - Ь₂, а₃ -Ь₃). Определение. Произведением вектора a{aj a₂; а₃)начислок

называется вектор k ■ а = (ft • a_x; k • а₂; k • а₃).

Из определения вытекают следующие свойства:

2) (т + п)-а=т-а+п-а и равенство \k' а\ ~\Ц ' \а\ (здесь h, m, п — числа).

Вопросы и задания

1. Повторите определение сложения двух векторов и запомните.

2. В каких случаях удобно пользоваться "правилом параллелограмма"?

3. По какому правилу вьшолняется сложение нескольких векторов в пространстве?

4. Повторите и запомните свойства сложения векторов.

5. Какие векторы называются противоположными? Что можно сказать о знаке
их координат?

6. Что называется разностью двух векторов?

7. Какой вектор называется умножением вектора а (а^ а₂; а₃) на число ft?

8. Повторите и запомните свойства умножения вектора на число.