Векторы в пространстве

В пространстве, как и на плоскости, вектором называется направ­ленный отрезок. Буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия для векторов в пространстве: абсолютная величина вектора, направление вектора, равенство векторов.

Но это не простое повторение, а обобщение, распространение свойств двумерной геометрии на трехмерную. Если в планиметрии для задания вектора достаточно указать две его координаты, то в стереометрии — три координаты.

Определение. Координатамивектора АВ, начало которого точка A(x_v y_v Zj), а конец — точка В(х₂, у.₂, г₂), называются числа.

а₁ = х₂- х_х, а₂ = у₂- y_lt a_s = z₂- z_v Записывают такой вектор, указывая его координаты: АВ(с,, а₂, а₃) или a (a_v a₂, а₃).

Например, если точки А(4; 0; 3) и В(0; 6; 4) — начало и конец направленного отрезка АВ, тогда

^ = 0-4 =-4, a₂ = 6-0 = 6, a_s = 4-3 = l.

Значит, направленному отрезку АВ соответствует вектор а (-4; 6; 1) (рис. 55).

Так же, как и на плоскости, доказывается,
что равные векторы имеют соответственно
равные координаты и, обратно, векторы с
'соответственно равными координатами

равны. Это дает основание говорить о том любой вектор можно отложить от любой точки пространства.

Длину вектора a (a_v a₂, а₃) можно выразить через его координаты. Отложим вектор а от начала координат (рис. 56). Тогда четырехугольник OPAN — прямо­угольник. Его стороны равны a_t и а₂,

поэтому ОА²_г = а\ + а\. В прямоугольном треугольнике ОАА второй катет |АД|

Отсюда \а\ = ^а{ +а\+ а\.

Длина любого ненулевого вектора — число положительное. Длина нулевого вектора равна нулю.

Вспомним, что два вектора, лежащих на одной прямой или параллельных прямых, называют коллинеарными. Коллинеарные векторы бывают сонаправлены (а ТТ b) или противоположно

направлены (in Ti n). Если векторы ON и ОМ коллинеарны, то точки О, N, М лежат на одной прямой. Нулевые векторы не имеют направлений и считаются коллинеарными к любому вектору.

Вопросы и задания

1. Как изображаются векторные величины?

2. Определите координаты вектора, начало которого A(x_t; yj zj, а конец В(х₂; у₂; z₂).

3. Как вычислить длину вектора?

4. Какие векторы называются коллинеарными? Что можно сказать об их направ­
лениях?

Задачи

А

185.Точка В — середина отрезка АС, а С — середина отрезка BD.
Равны ли векторы СА и IJB? АВ mDC?

186.Найдите координаты вектора АВ, если А(2; 4; 3) и В(3; 7; 6).

187.Найдите координаты начала направленного отрезка CD, соот­
ветствующего вектору с (-3; 2; 4), если его конец ЩЗ; -2; 1).

188. Найдите координаты конца направленного отрезка MN, соот­
ветствующего вектору т (-1; 3; -2), если его начало М(-2; -1;-3).

189.Найдите длины векторов /п(3; 2; 1) и га (-2; -1; 6).

190.Длины векторов а (2; 1; 3) и Ъ (-1; х; 2) равны. Найдите х.

191. Найдите координаты вектора с {2Р, -t; f), если его длина V54.

192.Коллинеарны ли векторы: а) a (3; 3; 0) и Ь (2; 2; 7); б) т(0; 2; 0)
и га (0; -1; 0); в) р(2; 1; 3) и q{A; 2; 6)?