Параллельный перенос в пространстве

Определение. Параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование, при котором произвольная точка (х,у,г) фигуры переходит в точку (х+ a;y + b;z + c), где а, Ъ, с — постоянные.

Параллельный перенос в пространстве задается формулами

х" = х + а, у' = у + b, z" = z+ с,

выражающими координаты (х", у', z¹) точки, в которую переходит точка (х,у, z) при параллельном переносе. Так же, как на плоскости, доказываются следующие свойства параллельного переноса.

1. Параллельный перенос есть движение.

2.При параллельном переносе точки смещаются по парал­
лельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.

3.При параллельном переносе каждая прямая переходит в
параллельную ей прямую (или в себя).

4.Каковы бы ни были точки ХиХ, существует единственный
параллельный перенос, при котором точка X переходит в точку X".

В пространстве добавляется еще одно свойство параллельного переноса.

5.При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость

переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскость.

Докажем последнее свойство.

Пусть а — произвольная плоскость (рис. 54). Проведем в этой плоскости две пересекающиеся прямые а и ft. При параллельном переносе прямые а и Ъ переходят либо в себя, либо в параллельные прямые а¹ и Ь¹. Плоскость а переходит в некоторую плоскость а¹, проходящую через прямые а¹ и б¹. Если плоскость а¹ не совпадает с а, то по теореме 8 она параллельна а. Что и требовалось доказать.

Вопросы и задания

1. Сколько координат имеет точка в пространстве?

2. Как найти координаты точки в пространстве?

3. Запишите формулу расстояния между двумя точками через координаты этих
точек. Имеет ли значение порядок точек и их координат?

4. Какими формулами определяются координаты середины отрезка?

15. Дайте определение параллельного переноса.

16. Перечислите свойства параллельного переноса.

Задачи

173. Даны точки А(1; 7; 4), В(3; 0; 0), С(1; 2; 0), Щ); 5; 1). Какие из этих
точек лежат: 1) в плоскости ху; 2) в плоскости у г; 3) на оси х?

174.Дана точка М(2; 4; 6). Найдите основания перпендикуляров,
опущенных из этой точки на координатные оси и координатные
плоскости.

175.Даны вершины А(1; -3; 0), В(-2; -4; 1), С(-3; 1; 1), Щ); 2; 0)
параллелограмма ABCD. Вычислите длины диагоналей паралле­
лограмма.

176.Найдите расстояния от точки (2; -2; 3) до: 1) координатных
плоскостей; 2) осей координат; 3) начала координат.

177.Какая из точек: А(2; 1; 5) или В(--2; 1; 6) — лежит ближе к началу
координат?

178.При параллельном переносе точка А(3; 2; -1) переходит в точку
А\2; 0; -1). В какую точку переходит начало координат?

В

179.Даны точки М (0; 1; 1), JV(2; -1; 3), 2sT(-l; у, 0). Найдите такое
значение у, чтобы выполнялось условие: \МЩ = \NK].

180.Найдите координаты точки, лежащей на оси у и равноудаленной
от точек Р(4; -1; 3) и Q(l; 3; 0).

181.Найдите координаты точки, лежащей в плоскости ху и равно­
удаленной от точек А(0; 1; 0), В(-1; 0; 1), С(0; -1; 0).

182.Докажите, что четырехугольник ABCD является ромбом, если:
А(0; 2; 0), ВЦ; 0; 0), С(2; 0; 2), Щ1; 2; 2).

183. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если
координаты трех других его вершин известны:

А(4; 2; -1), Б(1; -3; 2), С(-4; 2; 1).

184. Существует ли параллельный перенос, при котором точка А пере­
ходит в точку В, а точка С — в точку D, если: А(0; 1; 2),.В(-1; 0; 1),
С(3; -2; 2), Щ2; -3; 1)?