Как найти уравнения проекции прямой на плоскость?

г) Что такое проекция прямой на плоскость?

Физкульт-пятиминутка. Пожалуйста, найдите дома швабру и поместите её между своих ног. Подбородок плотно прижат к груди. Теперь строго перпендикулярно смотрим вниз на швабру. Скрытая от вас часть пола – это и есть проекция швабры на плоскость. Да… …а я как погляжу, вы без комплексов =)

На чертеже наша «швабра» проведена малиновым цветом, а её проекция, прямая – коричневым цветом. Легко заметить, что проекция задаётся пересечением плоскостей: , и на самом деле ответ уже готов:

Другое дело, что часто требуется представить уравнения прямой в канонической форме. Это стандартная задача, рассмотренная в Примерах №№9,10 урока Уравнения прямой в пространстве.

Точка , принадлежащая проекции, уже известна, осталось найти её направляющий вектор:

Таким образом, канонические уравнения проекции:

Обратите внимание, что на практике для решения данной задачи, в общем-то, не надо находить именно точку пересечения (лишняя работа). Нас устроит любая точка, принадлежащая проекции. Красавица подбирается из системы (см. Примеры №№9,10 урока Уравнения прямой в пространстве).

Есть и другой способ нахождения проекции, связанный с построением перпендикуляра к плоскости «сигма», но, я тут прикинул, он вряд ли короче. Однако на всякий случай озвучу алгоритм, вдруг понадобится кому:

– находим точку пересечения прямой и плоскости: (вот в этом способе уже обязательно находим);
– из произвольной точки (не совпадающей с точкой ) опускаем перпендикуляр на плоскость (см. следующие параграфы);
– основание перпендикуляра находим как пересечение прямой и плоскости ;
– составляем канонические уравнения проекции по двум точкам: .