Как найти расстояние от точки до прямой в пространстве?

б) Решение: Найдём расстояние от точки до прямой .

Способ первый. Данное расстояние в точности равно длине перпендикуляра : . Решение очевидно: если известны точки , то:

Способ второй. В практических задачах основание перпендикуляра частенько тайна за семью печатями, поэтому рациональнее пользоваться готовой формулой.

Расстояние от точки до прямой выражается формулой:
, где – направляющий вектор прямой «эль», а – произвольная точка, принадлежащая данной прямой.

Решаем:

1) Из уравнений прямой достаём направляющий вектор и самую доступную точку .

2) Точка известна из условия, заточим вектор:

3) Найдём векторное произведение и вычислим его длину:

4) Рассчитаем длину направляющего вектора:

5) Таким образом, расстояние от точки до прямой:

Ответ:

После разобранной задачи вам не составит труда разобраться в следующем примере:

Пример 16

В пространстве задан треугольник координатами своих вершин . Найти высоту и её длину.

Это пример для самостоятельного решения. Не забывайте выполнять схематические чертёжи! Полное решение и ответ в конце урока.

В заключение параграфа рассмотрим угол: