Основные задачи на прямую и плоскость

Данная задача прям таки вертится в умах человечества, и встречается в практических задачах чаще всего. Когда я приступил к разработке пространственной геометрии, то, начиная с урока Уравнение плоскости, мне даже было немного неловко, что посетители сайта обманывались в своих ожиданиях. Многие задачи уже были, а вот этой ещё нет….

Рассмотрим прямую , которая пересекает плоскость . Требуется найти точку, в которой прямая пересекает плоскость: . Хотел разобрать задачу в общем виде, но передумал… лучше традиционный практический пример:

Пример 3

Дана прямая и плоскость . Требуется:

а) доказать, что прямая пересекает плоскость;

б) найти точку пересечения прямой и плоскости;

в) через прямую провести плоскость («омега»), перпендикулярную плоскости ;

г) найти проекцию прямой на плоскость ;

д) найти угол между прямой и плоскостью .

НеслАбо. А ведь всё началось с единственной точки пересечения =)

Решение: Сначала закрепим задачу о взаимном расположении прямой и плоскости:

а) Из уравнений прямой находим принадлежащую ей точку и направляющий вектор:

Вектор нормали плоскости, как всегда, сдаётся без боя:

Вычислим скалярное произведение:
, значит, прямая пересекает плоскость, что и требовалось доказать.