Наслідки з теореми

1. Многочлен додатного степеня з числовими коефіцієнтами має над полем комплексних чисел стільки коренів, якого є його степінь

Д-ня. Нехай f(x) – многочлен з числовими коефіцієнтами і deg f(х)>0. За основною теоремою алгебри f(x) має комплексний корінь α_i, тоді

f(x)(х-α₁)↔ f(x)=(х-α₁)g(х). Якщо degg(х)=0, то g(х)=a_n, тобто f(x)=a_n(х-α₁) і в полі комплексних чисел f(x) має рівно один корінь.

Нехай degg(х)>0, тоді, за основною теоремою існує α₂ (комплексне число), яке є коренем g(х), тобто

g(х)=(х-α₂)*g₁(х), тоді

f(x)=(х-α₁)*(х-α₂)*g₁(х). Продовжуючи цей процес далі, та розкладаючи многочлени g_i(х) одержимо:

f(x)=a_n(х-α₁)*(х-α₂)*…*(х-α_n), тобто числа α₁, α₂,…α_n є коренями многочлена f(x). Цих коренів більше ніж n за доведеним раніше бути не може. ▲

2. Поле комплексних чисел є полем розкладу будь-якого многочлена додатного степеня з числовими коефіцієнтами (Випливає з попереднього наслідку)

3. Поле комплексних чисел є алгебраїчно замкненим, тобто є полем розкладу будь-якого многочлена з комплексними коефіцієнтами.

4. Над полем комплексних чисел незвідними є лише многочлени першого степеня і тільки вони.

5. Над полем комплексних чисел умова існування кратних множників многочлена еквівалентна умові існування кратних коренів.

6. Над полем комплексних чисел многочлени f(х) та g(х) мають спільні множники тоді і тільки тоді, коли вони мають спільні корені.

7. Якщо многочлен f(х) з дійсними коефіцієнтами має комплексний корінь α=a+bi, то його коренем буде і число спряжене до α, = a - bi.

Д-ня. Нехай многочлен

f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀ є R має комплексний корінь α. Тобто f(α)=a_nαⁿ+a_n-1α^n-1+…+a₁α+a₀=0.

Візьмемо комплексне спряжене від многочленів останньої рівності

=0 →

=0

а_і – дійсні числа, вони співпадають з своїми спряженими:

f()=0, тобто - корінь f(х) ▲

8. Якщо многочлен f(х) з дійсними коефіцієнтами має комплексний корінь α кратності к, то він має корінь тієї ж кратності.

9. Над полем дійсних чисел незвідними можуть бути многочлени першого або другого степеня і тільки вони.

Д-ня. Нехай f(х) є незвідним многочленом над дійсним полем. Припустимо, що deg f(х)>2. За лемою наслідком 7 він матиме комплексний корінь α і , тоді f(x)=(x-α)(x- )*g(x) причому

deg g(x) ≥1

f(x)=(x² – αx - x + α )*g(x), або

f(x)=(x² - (α + )x+ α )*g(x), де

(α + ) є R, α є R таким чином многочлен в дужках має дійсні коефіцієнти і враховуючи що deg g(x)≥1 робимо висновок, що f(x) буде незвідним над R ▲