Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Властивості конгруенції





І. Загальні властивості конгруенцій.

1(рефлексивність) a a(modm) дійсно (a–a )÷m для будь-якого m

2.(транзитивність) Для будь-яких a, b, c є Z, якщо a b(modm), b c(modm), то a c(mod m)

Дійсно, з означення конгруенції випливає a=b+mq, b= c+mt, q,tєZ, підставивши другу рівність в першу маємо a=c+mt+mq= c +m(t+q), а отже за означенням a c(mod m)

3. (симетричність) Для будь-яких a і b єZ з того що a b(modm), випливає, що b a(modm)

Дійсно, оскільки a b(modm), то (a-b)÷m, звідки -(b-a)÷m і (b-a)÷m → b a(modm).

Оскільки виконуються ці три властивості, то відношення конгруентності є відношенням еквівалентності.

4. Кожне число конгруентне зі своєю остачею при діленні на m, тобто якщо a=mq+r, 0≤ r ≤m то a r(modm).

Д-ня випливає з 3) означення конгруентності.

5. Якщо конгруенція має місце по модулю m , то вона має місце і по будь-якому модулю, що є дільником числа m.

З умови маємо (a-b)÷m , нехай d-дільник m, тоді (a-b)÷ d, або a b(mod d).

6. Якщо конгруенція має місце по кількох модулях, то вона має місце і по їх НСК, тобто

Доведення.

Припустимо, що

і - НСК чисел .

З даних конгруенцій випливає, що різниця (a-b) ділиться націло на числа m1, m2,…mk, тому (a-b) повинно ділитися на їх НСК.

Отже, Властивість доведено.

ІІ. Властивості конгруенцій, пов’язані з додаванням і відніманням.

1. Дві конгруенції за одним і тим же модулем можна почленно додавати та віднімати.

Д-ня. Нехай a b(modm), c d(modm), це означає, що (a-b)÷m, (c-d)÷m, тоді (a-b)+(c-d)÷m, з чого випливає a+c b+d(modm), аналогічно (a-b) - (c-d)÷m, звідки

a-c b-d(modm)

2. До будь-якої частини конгруенції можна додавати або віднімати число кратне модулю т.б. a b(modm)→ a +mt b(modm), a b+mt(modm).

З умови випливає, що a= b+mq, покладемо q=t+q1 тоді a= b+m(t+q1) або a=b+mt+mq1 → a b+mt(modm).

3. До обох частин конгруенції можна додати (відняти) одне й те ж саме ціле число: a b(modm) → a+c b+c(modm)



На основі рефлективності конгруентності число с конгруентне само з собою за будь-яким модулем в тому числі і за m. Конгруенції за однаковим модулем можна почленно додавати з чого випливає властивість.

4. З однієї частини конгруенції в іншу можна перенести число взявши його з протилежним знаком. a+c b(modm)→a b-c(modm)

Використавши 1 і 7 маємо a+c b(modm) -b -b(modm) звідки a b-c(modm).

ІІІ. Властивості конгруенцій, пов’язані з множенням та діленням.

1. Дві конгруенції з одним і тим же модулем можна почленно перемножити

За умовою a=b+mq, c= d+mt, q,tєZ перемноживши рівності дістанемо

ac=bd+m(dq+bt+mqt), перепозначивши маємо ac=bd+mq' або ac bd(modm).

2. Обидві частини конгруенції можна підносити до одного і того ж натурального степеня

Доведення випливає є попередньої властивості: беремо n штук рівних конгруенцій і перемножуємо.

3. Обидві частини конгруенції можна помножити на одне й те ж саме ціле число.

Оскільки a=b+mq то aс=bс+mqс, взявши qс=q' одержимо ac bс(modm).

4. Обидві частини конгруенції і модуль можна скоротити на їх спільний дільник.

Справді, ac bс(modmс)→ ac=bс+(mс)t→ a=b+mt→ a b(modm).

5. Якщо одна частина конгруенції і модуль діляться на деяке число, то і інша частина конгруенції повинна ділитися на це число.

З означення конгруенції випливає: a=b+mq, qєZ або a - mq =b, оскільки a÷k, m÷k → a - mq÷k →b÷k

6. Обидві частини конгруенції і модуль можна скоротити на їх спільний дільник

7. Якщо одна частина конгруенції і модуль діляться на деяке число, то і ін. частина конгруенції повинна ділитися на це ж число.

8.

9. -многочлен n-го степеня, то

Т-ма (Ейлера)

Якщо (a,m)=1, то

Д-ня. Виберемо будь-яку ЗСЛm (зведену систему лишків) {x1, x2, … xψ(m)} За властивістю система {аx1, аx2, … аxψ(m)}, де (а,m)=1 також утворює ЗСЛm. Очевидно, що при відповідній пере нумерації ax1~xi1,, ax2~xi2, … аxψ(m)~ xψ(m). Одержимо, що відповідні елементи визначають один і той же клас лишків по модулюm тобто aх1 хі1(modm),

ах2 хі2(modm),

……………………….

ψ(m) хіψ(m)(modm).

Перемноживши вказані конгруенції маємо: aψ(m) х1х2…хψ(m)

хі1хі2…хіψ(m)(modm). Оскільки х1х2…хψ(m)і1хі2…хіψ(m) і кожне з чисел хк взаємно просте з модулем, то скоротивши останню конгруенцію на вказаний добуток одержимо

Як наслідок з теореми Ейлера одержимо малу теорему Ферма

Т-маЯкщо p- просте число, і (a,p)=1, то .

Д-ня. Покладемо в теоремі Ейлера m=p, тоді (a,p)=1 тоді і тільки тоді коли a÷p. Враховуючи, що φ(p)=p-1,та підставляючи цей вираз в теорему Ейлера будемо мати

НаслідокЯкщо аєZ, p – просте число, то (ap - a)÷p.

Д-ня.1) Якщо (a,p)=1, то за малою теоремою Ферма помноживши обидві частини на а будемо мати:

звідки (ap - a)÷p.



2)Нехай (a,p)≠1 →a÷p →(ap - a)÷p.

 


9. Функція Ейлера та її властивості. Теорема про мультиплікативність функції Ейлера.

Функція, яка визначає кількість натуральних чисел, що не перевищують даного і взаємно прості з ним називається функцією Ейлера. Позначають






Date: 2015-04-23; view: 833; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2020 year. (0.01 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию