Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Наслідки





1. Якщо многочлен f(х) з дійсними коефіцієнтами має комплексний корінь α=a+bi, то його коренем буде і число спряжене до α, = a - bi.

Д-ня. Нехай многочлен

f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 є R має комплексний корінь α. Тобто f(α)=anαn+an-1αn-1+…+a1α+a0=0.

Візьмемо комплексне спряжене від многочленів останньої рівності

=0

=0

аі – дійсні числа, вони співпадають з своїми спряженими:

f( )=0, тобто - корінь f(х) ▲

2. Якщо многочлен f(х) з дійсними коефіцієнтами має комплексний корінь α кратності к, то він має корінь тієї ж кратності.

3. Над полем дійсних чисел незвідними можуть бути многочлени першого або другого степеня і тільки вони.

Д-ня. Нехай f(х) є незвідним многочленом над дійсним полем. Припустимо, що deg f(х)>2. За лемою 2 наслідком 1 він матиме комплексний корінь α і , тоді f(x)=(x-α)(x- )*g(x) причому

deg g(x) ≥1

f(x)=(x2 – αx - x + α )*g(x), або

f(x)=(x2 - (α + )x+ α )*g(x), де

(α + ) є R, α є R таким чином многочлен в дужках має дійсні коефіцієнти і враховуючи що deg g(x)≥1 робимо висновок, що f(x) буде незвідним над R ▲


15. Многочлени над полем комплексних чисел. Алгебраїчна замкненість поля комплексних чисел

Припущення, що кожен многочлен з числовими коефіцієнтами розкладається в полі комплексних чисел на лінійні множники було висловлено ще в 1629р Жираром. Строге доведення цього факту було запропоновано Карлом Гаусом аж у 1799р а сам факт сьогодні носить назву основної теореми алгебри комплексних чисел.

Лема. Будь-який многочлен f(x) ненульового степеня з дійсними коефіцієнтами має принаймні 1 комплексний корінь.

Д-ня. Нехай deg f(x)=n, тоді n=2k*q, де k≥0, (q, 2)=1.

Доведемо твердження леми індукцією по к.

1. Нехай к=0, тоді n=q – непарне число, і за лемою1 f(x) має дійсний (комплексний ) корінь.

2. Припустимо, що твердження вірне для всіх натуральних чисел менших за к, тобто для многочленів степінь яких ділиться на 2к-1 і не ділиться на 2к .



3. Доведемо, що твердження вірне для многочленів степінь яких ділиться на 2к.

Нехай f(x) такий многочлен тобто

deg f(x) =2kq=n. У полі розкладу Δ f(x) має корені α1, α2,…, αn. Сконструюємо елемент βij виду: αiαj+C(αij) де C - довільне число єR, i<j. таких елементів буде 2k-1q(2kq-1)=2k-1q1,

де q1=q(2kq-1)-непарне число.

Розглянемо многочлен

φ(х)= , степеня 2k-1q1 коренями якого є βij тільки вони. Зауважимо, що при перестановках αk ↔ αm і навпаки многочлени βij не змінюються і тому φ(х) є симетричним відносно α1, α2,…, αn.

Враховуючи, що α1, α2,…, αn корені многочлена з дійсними коефіцієнтами та застосовуючи теорему, яка є наслідком з формули Вієта одержимо, φ(х) також матиме дійсні коефіцієнти. За припущенням індукції ( оскільки deg f(x) =2k-1q1 ) многочлен φ(х) з дійсними коефіцієнтами матиме принаймні 1 комплексний корінь βijєС Таким чином, для будь-якого дійсного числа С можна вказати пару індексів i та j, (1≤i<j≤n) при яких βijiαj+C(αij) є комплексним числом. Зрозуміло також, що різним дійсним числам С1 і С2 відповідають різні пари індексів. Проте, оскільки множина дійсних чисел нескінченна, а множина пар (i, j) (таких що1≤i<j≤n ) скінченна, то можна вибрати пару чисел С1 і С2 1 ≠ С2), яким відповідатиме одна і та ж пара індексів, тобто

βijiαj+C1ij)

ij = αiαj+C2(αij)

βij ij – комплексні числа.

Очевидно, що αi та αj є коренями квадратного рівняння з комплексними коефіцієнтами

Z2 - (αi + αj ) Z + αiαj=0

Отже αі та αj є комплексними коренями многочлена f(х) ▲.

 

Теорема. Будь-який многочлен з числовими (комплексними) коефіцієнтами степінь яких ≥1 має принаймні один комплексний корінь

Д-ня. Нехай многочлен

f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 належить полю комплексних чисел, причому deg f(x) ≥1. Розглянемо многочлен = коефіцієнти якого є комплексними спряженими до коефіцієнтів f(x). Тоді

f(x) =an х2n+(an +

+ an-1)x2n-1+…+(a1 +a0 )x+ +a0 має дійсні коефіцієнти . Дійсно ai =(c+bi)(c-bi)=c2+b2 єR

ak +am =(c+bi)(d-li)+(d+li)(c-bi) = cd+bl-cli+bdi+dc-dbi+lci+lb=2(cd+bl) – дійсне число.

(ak= c+bi, am=d+li)

За лемою, многочлен f(x) має комплексний корінь α, тобто f(α) =0. В силу цілісності кільця комплексних чисел або f(α)=0 і α – корінь f(х), або =0. Тоді

=0

=

.

Отже є коренем многочлена f(x), тобто многочлен з комплексними коефіцієнтами ненульового степеня має принаймні один комплексний корінь.▲






Date: 2015-04-23; view: 358; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2020 year. (0.019 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию